Gere valores entre
, encontre um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Posição Falsa, para a função:
; com precisão 0.01. Obs.: utilize pelo menos 3 casas decimais em seus cálculos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Gerar valores da função no intervalo
e identificar um subintervalo onde exista uma raiz (ou seja, onde a função mude de sinal). - Encontrar a raiz dentro desse intervalo usando o método da Posição Falsa (regula falsi) com precisão
.
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo de busca:
. - Precisão desejada:
.
Passo 2
Vou calcular
em vários pontos de
(usei passo
) para localizar uma mudança de sinal. Calculei com pelo menos 3 casas decimais:
Observação: houve mudança de sinal entre
(onde
) e
(onde
). Portanto existe pelo menos uma raiz no intervalo
. Vou usar esse intervalo inicial no Método da Posição Falsa.]
Passo 3
Breve explicação didática do Método da Posição Falsa (regula falsi):
- Partimos de um intervalo
tal que e têm sinais opostos (isso garante existência de raiz por Bolzano). - Aproximação pela interseção da reta que liga os pontos
e com o eixo . Essa interseção é o novo ponto dado por:
- Avalia-se
. Se tem mesmo sinal que , substitui-se ; caso contrário, substitui-se . - Repete-se até que a largura do intervalo
seja menor que a precisão exigida (aqui ) ou até que seja suficientemente pequeno. - Variáveis:
são as extremidades atuais do intervalo; são os valores da função nessas extremidades; é a aproximação obtida pela interseção da reta com o eixo .
Passo 4
Configuração inicial (peguei estes números do passo anterior):
Vou iterar aplicando a fórmula da Posição Falsa e mantendo, em cada passo, pelo menos 3 casas decimais nas contas.
Iteração 1:
Avaliação:
Como
é negativo (mesmo sinal de
), atualizamos
e mantemos
. Novo intervalo:
Passo 5
Iteração 2:
Usando com
e
com
:
Usando
Avaliação:
Ainda negativo, então substituímos
. Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 3:
Usando com
e
com
:
Usando
Avaliação:
Agora
é positivo, portanto substituímos
. Novo intervalo:
Passo 7
Critério de parada:
- A largura do intervalo atual é
, que é menor que a precisão exigida . Portanto podemos parar. - Como verificação, a
é uma boa aproximação da raiz; .
Interpretação pedagógica rápida: o método da Posição Falsa aproximou a raiz resolvendo geometricamente a interseção da reta secante com o eixo
e, em poucas iterações, já trouxe a extremidade do intervalo para perto da raiz. Note que a equação reduzida em
leva a
cuja solução positiva é
, e isso dá
— consistência com o resultado numérico.