Gere valores entre [0,3], encontre um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Posição Falsa, para a função: \mathrm{y}=\mathrm{x} . \wedge 4-3^{*} \mathrm{x} . \wedge 2-3; com precisão 0.01. Obs.: utilize pelo menos 3 casas decimais em seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Gerar valores da função no intervalo [0,3] e identificar um subintervalo onde exista uma raiz (ou seja, onde a função mude de sinal).
  • Encontrar a raiz dentro desse intervalo usando o método da Posição Falsa (regula falsi) com precisão 0{,}01.
Informações dadas:
  • A função é \;f(x)=x^{4}-3x^{2}-3.
  • Intervalo de busca: [0,3].
  • Precisão desejada: 0{,}01.

Passo 2

Vou calcular f(x) em vários pontos de [0,3] (usei passo 0{,}5) para localizar uma mudança de sinal. Calculei com pelo menos 3 casas decimais:
\begin{aligned} f(0{,}0) &= 0^{4}-3\cdot0^{2}-3 = -3{,}000\\[2pt] f(0{,}5) &= (0{,}5)^{4}-3(0{,}5)^{2}-3 = 0{,}0625-0{,}750-3 = -3{,}688\\[2pt] f(1{,}0) &= 1^{4}-3\cdot1^{2}-3 = -5{,}000\\[2pt] f(1{,}5) &= (1{,}5)^{4}-3(1{,}5)^{2}-3 = 5{,}0625-6{,}750-3 = -4{,}688\\[2pt] f(2{,}0) &= 2^{4}-3\cdot2^{2}-3 = 16-12-3 = 1{,}000\\[2pt] f(2{,}5) &= (2{,}5)^{4}-3(2{,}5)^{2}-3 = 39{,}0625-18{,}750-3 = 17{,}313\\[2pt] f(3{,}0) &= 3^{4}-3\cdot3^{2}-3 = 81-27-3 = 51{,}000 \end{aligned}
Observação: houve mudança de sinal entre x=1{,}5 (onde f(1{,}5)=-4{,}688) e x=2{,}0 (onde f(2{,}0)=1{,}000). Portanto existe pelo menos uma raiz no intervalo [1{,}5,\,2{,}0]. Vou usar esse intervalo inicial no Método da Posição Falsa.]

Passo 3

Breve explicação didática do Método da Posição Falsa (regula falsi):
  • Partimos de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos (isso garante existência de raiz por Bolzano).
  • Aproximação pela interseção da reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Essa interseção é o novo ponto x_r dado por:
x_r=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Avalia-se f(x_r). Se f(x_r) tem mesmo sinal que f(a), substitui-se a\leftarrow x_r; caso contrário, substitui-se b\leftarrow x_r.
  • Repete-se até que a largura do intervalo |b-a| seja menor que a precisão exigida (aqui 0{,}01) ou até que |f(x_r)| seja suficientemente pequeno.
  • Variáveis: a,b são as extremidades atuais do intervalo; f(a),f(b) são os valores da função nessas extremidades; x_r é a aproximação obtida pela interseção da reta com o eixo x.

Passo 4

Configuração inicial (peguei estes números do passo anterior):
a_0=1{,}5,\quad f(a_0)=-4{,}6875\quad(\text{escrito como }-4{,}688)
b_0=2{,}0,\quad f(b_0)=1{,}000
Vou iterar aplicando a fórmula da Posição Falsa e mantendo, em cada passo, pelo menos 3 casas decimais nas contas.
Iteração 1:
x_{r1}=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)} =\frac{1{,}5\cdot1{,}000-2{,}0\cdot(-4{,}6875)}{1{,}000-(-4{,}6875)} =\frac{1{,}500+9{,}375}{5{,}6875} =\frac{10{,}875}{5{,}6875}=1{,}912088\\ (\text{aprox.})
Avaliação:
f(1{,}912088)\approx -0{,}601487\quad(\text{negativo, mostrado com 6 casas para clareza})
Como f(x_{r1}) é negativo (mesmo sinal de f(a_0)), atualizamos a_1=x_{r1} e mantemos b_1=b_0. Novo intervalo:
[a_1,b_1]=[1{,}912088,\;2{,}000000],\quad |b_1-a_1|=0{,}087912

Passo 5

Iteração 2:
Usando a_1=1{,}912088 com f(a_1)\approx -0{,}601487 e b_1=2{,}0 com f(b_1)=1{,}000:
x_{r2}=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} =\frac{1{,}912088\cdot1{,}000-2{,}0\cdot(-0{,}601487)}{1{,}000-(-0{,}601487)} =\frac{1{,}912088+1{,}202974}{1{,}601487} =\frac{3{,}115062}{1{,}601487}\approx1{,}945106
Avaliação:
f(1{,}945106)\approx -0{,}035874\\ (\text{negativo})
Ainda negativo, então substituímos a_2=x_{r2}=1{,}945106. Novo intervalo:
[a_2,b_2]=[1{,}945106,\;2{,}000000],\quad |b_2-a_2|=0{,}054894

Passo 6

Iteração 3:
Usando a_2=1{,}945106 com f(a_2)\approx -0{,}035874 e b_2=2{,}0 com f(b_2)=1{,}000:
x_{r3}=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)} =\frac{1{,}945106\cdot1{,}000-2{,}0\cdot(-0{,}035874)}{1{,}000-(-0{,}035874)} =\frac{1{,}945106+0{,}071748}{1{,}035874} =\frac{2{,}016854}{1{,}035874}\approx1{,}947011
Avaliação:
f(1{,}947011)\approx 0{,}001992\\ (\text{positivo})
Agora f(x_{r3}) é positivo, portanto substituímos b_3=x_{r3}=1{,}947011. Novo intervalo:
[a_3,b_3]=[1{,}945106,\;1{,}947011],\quad |b_3-a_3|=0{,}001905

Passo 7

Critério de parada:
  • A largura do intervalo atual é |b_3-a_3|=0{,}001905, que é menor que a precisão exigida 0{,}01. Portanto podemos parar.
  • Como verificação, a x_{r3} é uma boa aproximação da raiz; x_{r3}\approx1{,}947011.
Interpretação pedagógica rápida: o método da Posição Falsa aproximou a raiz resolvendo geometricamente a interseção da reta secante com o eixo x e, em poucas iterações, já trouxe a extremidade do intervalo para perto da raiz. Note que a equação reduzida em t=x^{2} leva a t^{2}-3t-3=0 cuja solução positiva é t=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}, e isso dá x=\sqrt{t}\approx1{,}947 — consistência com o resultado numérico.

Resposta

[1{,}5,\,2{,}0]
x \approx 1{,}95

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