(Engenharia Elétrica) A matriz de potência fornecida por três geradores em três horários é:
G=[ccc 100 & 110 & 120 105 & 115 & 125 95 & 100 & 105 ]
Multiplique G por G^T e interprete o significado do resultado.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz de potência de três geradores em três horários,
G = 100 & 110 & 120 105 & 115 & 125 95 & 100 & 105 ,
e pede para calcular G,G^T. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e, em particular, o produto de uma matriz por sua transposta, que gera a chamada matriz de Gram, cujos elementos são produtos internos entre as linhas de G.

Passo 2

Lembrando que, para uma matriz GinR^3times3, o produto
(G,G^T)ij ;=;sumk=1^3 Gik,Gjk
é justamente o produto interno (dot‐product) entre a linha i e a linha j de G.

Passo 3

Vamos calcular alguns termos chave:
- Diagonais (soma de quadrados de cada linha):
(G,G^T)11 = 100^2 + 110^2 + 120^2 = 10,000 + 12,100 + 14,400 = 36,500,
(G,G^T)22 = 105^2 + 115^2 + 125^2 = 11,025 + 13,225 + 15,625 = 39,875,
(G,G^T)33 = 95^2 + 100^2 + 105^2 = 9,025 + 10,000 + 11,025 = 30,050
- Fora da diagonal (produto interno entre diferentes linhas):
(G,G^T)12 = 100cdot105 + 110cdot115 + 120cdot125 = 10,500 + 12,650 + 15,000 = 38,150,
(G,G^T)13 = 100cdot95 + 110cdot100 + 120cdot105 = 9,500 + 11,000 + 12,600 = 33,100,
(G,G^T)23 = 105cdot95 + 115cdot100 + 125cdot105 = 9,975 + 11,500 + 13,125 = 34,600
Como G,G^T é simétrica, esses valores aparecem em posições espelhadas. Assim,
G,G^T = 36,500 & 38,150 & 33,100 38,150 & 39,875 & 34,600 33,100 & 34,600 & 30,050

Passo 4

Interpretação: ,G,G^T é a matriz de Gram das linhas de G.
  • Cada entrada diagonal (G,G^T)ii é sumk Gik^2, ou seja, a soma dos quadrados das potências do gerador i nos três horários (uma medida de “energia acumulada”).
  • Cada entrada fora da diagonal (G,G^T)ij é o produto interno entre as curvas de potência dos geradores i e j, indicando o quanto as duas séries de potências “andam juntas” (uma medida de correlação ou similaridade).

Resposta

G,G^T = 36,500 & 38,150 & 33,100 38,150 & 39,875 & 34,600 33,100 & 34,600 & 30,050 ,
onde as diagonais são as somas de quadrados das potências de cada gerador e os demais elementos são correlações (produtos internos) entre os geradores.

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