Em engenharia estrutural curvas hiperbólicas são frequentemente usadas no design de pontes suspensas, estruturas de torres e até na modelagem de forças em arco de sustentação. Suponha que a equação de uma estrutura metálica em forma de hipérbole seja dada por: (X+2)^wed>= 2) / 4-(Y-1)^wed>= 2) / 5=1
Determinar o centro, o eixo da hipérbole e a orientação da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma estrutura metálica que tem a forma de uma hipérbole. A gente precisa descobrir três coisas sobre essa hipérbole: onde fica o centro dela, qual é o eixo principal e como ela está orientada no plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que é a parte da matemática que estuda formas geométricas usando o sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação padrão de uma hipérbole. Existem duas formas principais:
  1. Hipérbole horizontal:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
  1. Hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Nessas fórmulas, (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo principal, e b está relacionado à “abertura” da hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação que a gente tem:
(X + 2)^24 - (Y - 1)^25 = 1
Comparando com a forma padrão da hipérbole horizontal, percebemos que:
  • h = -2 (porque está X + 2)
  • k = 1 (porque está Y - 1)
Então, o centro da hipérbole é (-2, 1).

Passo 4

Vamos identificar os valores de a e b:
  • O denominador de (X + 2)^2 é 4, então a^2 = 4, ou seja, a = 2.
  • O denominador de (Y - 1)^2 é 5, então b^2 = 5, ou seja, b = raiz5.
Esses valores nos dizem que o eixo principal da hipérbole tem comprimento 2a = 4 e o eixo “secundário” tem comprimento 2b = 2raiz5.

Passo 5

Para determinar a orientação da hipérbole, observamos qual termo está positivo na equação padrão. No nosso caso, o termo (X + 2)^24 está positivo, o que significa que a hipérbole é horizontal. Isso indica que os dois ramos da hipérbole se abrem para os lados esquerdo e direito em relação ao centro.

Resposta

  • Centro da hipérbole: (-2, 1)
  • Eixo principal: horizontal, com comprimento 4
  • Eixo secundário: vertical, com comprimento 2raiz5
  • Orientação: a hipérbole está orientada horizontalmente, abrindo para os lados esquerdo e direito.

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