Em engenharia estrutural curvas hiperbólicas são frequentemente usadas no design de pontes suspensas, estruturas de torres e até na modelagem de forças em arco de sustentação. Suponha que a equação de uma estrutura metálica em forma de hipérbole seja dada por:
Determinar o centro, o eixo da hipérbole e a orientação da curva
Determinar o centro, o eixo da hipérbole e a orientação da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma estrutura metálica que tem a forma de uma hipérbole. A gente precisa descobrir três coisas sobre essa hipérbole: onde fica o centro dela, qual é o eixo principal e como ela está orientada no plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que é a parte da matemática que estuda formas geométricas usando o sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação padrão de uma hipérbole. Existem duas formas principais:
- Hipérbole horizontal:
- Hipérbole vertical:
Nessas fórmulas,
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo principal, e
está relacionado à “abertura” da hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação que a gente tem:
Comparando com a forma padrão da hipérbole horizontal, percebemos que:
-
(porque está ) -
(porque está )
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 4
Vamos identificar os valores de
e
:
- O denominador de
é , então , ou seja, . - O denominador de
é , então , ou seja, .
Esses valores nos dizem que o eixo principal da hipérbole tem comprimento
e o eixo “secundário” tem comprimento
.
Passo 5
Para determinar a orientação da hipérbole, observamos qual termo está positivo na equação padrão. No nosso caso, o termo
está positivo, o que significa que a hipérbole é horizontal. Isso indica que os dois ramos da hipérbole se abrem para os lados esquerdo e direito em relação ao centro.
Resposta
- Centro da hipérbole:
- Eixo principal: horizontal, com comprimento
- Eixo secundário: vertical, com comprimento
- Orientação: a hipérbole está orientada horizontalmente, abrindo para os lados esquerdo e direito.