A matriz
A=[llll 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 2 1 & 0 & 0 & 2 ]
é invertível? Em caso afirmativo, exiba sua inversa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 2 1 & 0 & 0 & 2
e pede para verificar se A é invertível e, em caso afirmativo, exibir A^-1. O método escolhido será resolver, para cada j=1,2,3,4, o sistema
A,bj = ej,
cujas soluções bj formam as colunas de A^-1.

Passo 2

Seja b=(x,y,z,w)^T. Então
A,b = 0cdot x +0cdot y +1cdot z +0cdot w 0cdot x +1cdot y +0cdot z +0cdot w 2cdot x +0cdot y +0cdot z +2cdot w 1cdot x +0cdot y +0cdot z +2cdot w = z y 2x+2w x+2w
Para cada coluna bj de A^-1, igualamos este vetor a ej.

Passo 3

Para j=1 queremos
(z,y,2x+2w,x+2w)^T = (1,0,0,0)^T
Isto dá
z=1, y=0, 2x+2w=0, x+2w=0
Dessas duas últimas segue x+w=0 e x+2w=0, que forçam x=0, w=0. Logo
b1 = (0,0,1,0)^T

Passo 4

Para j=2 queremos
(z,y,2x+2w,x+2w)^T = (0,1,0,0)^T,
isto é
z=0, y=1, 2x+2w=0, x+2w=0,
que novamente dá x=0, w=0. Assim
b2 = (0,1,0,0)^T

Passo 5

Para j=3 ajustamos
(z,y,2x+2w,x+2w)^T = (0,0,1,0)^T,
logo
z=0, y=0, 2x+2w=1, x+2w=0
Da segunda equação vem x=-2w. Substituindo em 2x+2w=1:
2(-2w)+2w = -4w+2w = -2w = 1
implies w = -tfrac12, x = 1
Portanto
b3 = l(1,0,0,-tfrac12r)^T

Passo 6

Para j=4 impomos
(z,y,2x+2w,x+2w)^T = (0,0,0,1)^T,
isto é
z=0, y=0, 2x+2w=0, x+2w=1
Da primeira dessas w=-x. Substituindo em x+2w=1:
x + 2(-x) = -x = 1 implies x=-1, w=1
Logo
b4 = (-1,0,0,1)^T

Passo 7

As colunas que encontramos são
b1=(0,0,1,0)^T,; b2=(0,1,0,0)^T,; b3=(1,0,0,-tfrac12)^T,; b4=(-1,0,0,1)^T,
portanto
A^-1 = 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac12 & 1

Resposta

A matriz A é invertível e
A^-1 = 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac12 & 1

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