Se possível, determine valores de x, y e z tais que
[ccc 2 & 4 & 6 4 & 10 & 6 2 & 0 & 16 ][ccc -40 & 16 & x 13 & -5 & y 5 & -2 & z ]=[lll 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ]

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B tais que
A = 2 & 4 & 6 4 & 10 & 6 2 & 0 & 16 , B = -40 & 16 & x 13 & -5 & y 5 & -2 & z ,
e pede para determinar x,y,z de modo que
AB = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 = 2I3
O conteúdo principal aqui é multiplicação de matrizes e solução de sistemas lineares para cada coluna de B.

Passo 2

Note que implica, coluna a coluna, que
ªªª
onde são os vetores canônicos em . As duas primeiras colunas de já satisfazem as duas primeiras equações, restando resolver

Passo 3

Escrevendo o produto
Podemos simplificar dividindo as duas primeiras equações por :

Passo 4

Da terceira equação temos
x = 1 - 8z
Substituindo em x + 2y + 3z = 0:
(1-8z) + 2y + 3z = 0 Longrightarrow 2y = 5z - 1 Longrightarrow y = 5z - 12

Passo 5

Agora substituímos x=1-8z e y=(5z-1)/2 em 2x+5y+3z=0:
2(1-8z) + 5l(5z-12r) + 3z = 0 Longrightarrow 4 -16z + 25z-52 +3z = 0
Multiplicando por 2:
8 -32z + 25z -5 +6z = 0 Longrightarrow 3 - z = 0 Longrightarrow z = -1
Então
x = 1 - 8(-1) = 9, y = 5(-1)-12 = -3

Resposta

x = 9, y = -3, z = -1.

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