Um engenheiro ambiental está estudando a relação entre a quantidade de chuva (X, em mm ) e a vazão do rio ( Y, em m^3 / s ) durante uma semana. Os dados obtidos foram:
Dia Precipitação (X) Vazão (Y)
1 10 15
2 20 30
3 1 5 22
4 2 5 35
5 30 40
Determine o coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis apresentadas e interprete se existe uma relação linear forte entre as variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o coeficiente de correlação linear entre a quantidade de chuva (X) e a vazão do rio (Y) durante uma semana. Isso faz parte da matéria de Estatística, especificamente sobre Correlação e Regressão. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas somas básicas e aplicar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
Dia Precipitação (X) (mm) Vazão (Y) (m^3/s)
1 10 15
2 20 30
3 15 22
4 25 35
5 30 40
Vamos precisar calcular a soma de X, a soma de Y, a soma de X vezes Y, a soma de X ao quadrado e a soma de Y ao quadrado. Isso vai nos ajudar a aplicar a fórmula do coeficiente de correlação.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas somas:
  • Soma de X ( sum X):
    10 + 20 + 15 + 25 + 30 = 100
  • Soma de Y ( sum Y):
    15 + 30 + 22 + 35 + 40 = 142
  • Soma de X vezes Y ( sum XY):
    10 times 15 + 20 times 30 + 15 times 22 + 25 times 35 + 30 times 40 = 150 + 600 + 330 + 875 + 1200 = 3155
  • Soma de X ao quadrado ( sum X^2):
    10^2 + 20^2 + 15^2 + 25^2 + 30^2 = 100 + 400 + 225 + 625 + 900 = 2250
  • Soma de Y ao quadrado ( sum Y^2):
    15^2 + 30^2 + 22^2 + 35^2 + 40^2 = 225 + 900 + 484 + 1225 + 1600 = 4434

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson ( r):
r = n sum XY - (sum X)(sum Y)raiz[n sum X^2 - (sum X)^2][n sum Y^2 - (sum Y)^2]
Onde n é o número de observações, que aqui é 5.
Vamos substituir os valores:
  • Numerador:
    5 times 3155 - 100 times 142 = 15775 - 14200 = 1575
  • Denominador:
    raiz[5 times 2250 - 100^2][5 times 4434 - 142^2] = raiz[11250 - 10000][22170 - 20164] = raiz1250 times 2006 = raiz2507500 approx 1583,3

Passo 5

Finalmente, calculamos o coeficiente de correlação:
r = 15751583,3 approx 0,995

Resposta

O coeficiente de correlação linear entre a quantidade de chuva e a vazão do rio é aproximadamente 0,995. Isso indica que existe uma relação linear muito forte e positiva entre as duas variáveis: à medida que a precipitação aumenta, a vazão do rio também aumenta de forma consistente.

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