Uma pesquisa médica foi realizada em 10 pacientes para verificar a eficácia de um medicamento. A probabilidade de um paciente responder positivamente ao tratamento é 0,7 . Qual é a probabilidade de exatamente 7 pacientes responderem positivamente ao tratamento?
A) 0,2048
B) 0,2305
C) 0,2491
D) 0,2599
E) 0,2668
A) 0,2048
B) 0,2305
C) 0,2491
D) 0,2599
E) 0,2668
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem 10 pacientes que usaram um medicamento, e a chance de cada um responder positivamente é de 70% (ou seja, 0,7). Queremos saber qual a probabilidade de exatamente 7 desses 10 pacientes responderem bem ao tratamento. Para resolver isso, vamos precisar usar a probabilidade binomial, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. Ela é assim:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos no problema:
- $ n = 10 $ (os 10 pacientes)
- $ k = 7 $ (queremos exatamente 7 sucessos)
- $ p = 0,7 $ (probabilidade de um paciente responder positivamente)
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, o número de combinações $ \binom{10}{7} $. Isso significa quantas maneiras diferentes podemos escolher 7 pacientes que respondem bem dos 10. A fórmula para combinações é:
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos calcular $ p^{k} $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar todos esses valores juntos para encontrar a probabilidade:
Resposta
A probabilidade de exatamente 7 pacientes responderem positivamente ao tratamento é 0,2668 (opção E).