Uma pesquisa médica foi realizada em 10 pacientes para verificar a eficácia de um medicamento. A probabilidade de um paciente responder positivamente ao tratamento é 0,7 . Qual é a probabilidade de exatamente 7 pacientes responderem positivamente ao tratamento?
A) 0,2048
B) 0,2305
C) 0,2491
D) 0,2599
E) 0,2668

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem 10 pacientes que usaram um medicamento, e a chance de cada um responder positivamente é de 70% (ou seja, 0,7). Queremos saber qual a probabilidade de exatamente 7 desses 10 pacientes responderem bem ao tratamento. Para resolver isso, vamos precisar usar a probabilidade binomial, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. Ela é assim:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • $ n = 10 $ (os 10 pacientes)
  • $ k = 7 $ (queremos exatamente 7 sucessos)
  • $ p = 0,7 $ (probabilidade de um paciente responder positivamente)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, o número de combinações $ \binom{10}{7} $. Isso significa quantas maneiras diferentes podemos escolher 7 pacientes que respondem bem dos 10. A fórmula para combinações é:
binom107
Então,
binomnk = n!k! times (n - k)!

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ p^{k} $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k

Passo 6

Agora, vamos multiplicar todos esses valores juntos para encontrar a probabilidade:
P(X = 7) = 120 times 0,0823543 times 0,027 approx 0,2668

Resposta

A probabilidade de exatamente 7 pacientes responderem positivamente ao tratamento é 0,2668 (opção E).

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