Uma equipe de planejamento urbano deseja verificar se há uma correlação entre o número de veículos em uma estrada (X, em milhares) e o tempo médio de deslocamento (Y, em minutos). Os dados coletados foram:
Hora do dia |
|
Tempo Médio (Y) |
---|---|---|
|
5 | 10 |
|
10 | 20 |
|
15 | 30 |
|
20 | 40 |
|
25 | 50 |
a) Calcule o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y .
b) Explique se o aumento no número de veículos está fortemente correlacionado com o aumento do tempo de deslocamento.
b) Explique se o aumento no número de veículos está fortemente correlacionado com o aumento do tempo de deslocamento.
Passo 1
Então, pessoal, vamos resolver um exercício de correlação linear! A questão nos pede para verificar se existe uma relação entre o número de veículos numa estrada (X, em milhares) e o tempo médio de deslocamento (Y, em minutos). Para isso, precisamos calcular o coeficiente de correlação linear entre essas duas variáveis usando os dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de correlação linear. Esse coeficiente, geralmente representado pela letra “r”, mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O valor de “r” varia entre -1 e 1:
- r = 1: correlação positiva perfeita.
- r = -1: correlação negativa perfeita.
- r = 0: nenhuma correlação linear.
Para calcular “r”, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- n é o número de observações.
- ΣXY é a soma dos produtos de X e Y.
- ΣX e ΣY são as somas dos valores de X e Y, respectivamente.
- ΣX² e ΣY² são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.
Passo 3
Vamos organizar os dados para facilitar os cálculos:
Hora do dia | X (milhares) | Y (minutos) | XY | X² | Y² |
---|---|---|---|---|---|
7h | 5 | 10 | 50 | 25 | 100 |
8h | 10 | 20 | 200 | 100 | 400 |
9h | 15 | 30 | 450 | 225 | 900 |
10h | 20 | 40 | 800 | 400 | 1600 |
11h | 25 | 50 | 1250 | 625 | 2500 |
Agora, vamos somar cada coluna relevante:
- ΣX = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75
- ΣY = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150
- ΣXY = 50 + 200 + 450 + 800 + 1250 = 2750
- ΣX² = 25 + 100 + 225 + 400 + 625 = 1375
- ΣY² = 100 + 400 + 900 + 1600 + 2500 = 5500
Passo 4
Agora, temos todos os valores que precisamos para a fórmula do coeficiente de correlação:
- n = 5
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calcule o numerador:
Então:
Agora, o numerador é 2500.
Passo 6
Agora, vamos calcular o denominador, que envolve duas partes dentro das raízes:
Primeira parte:
Então:
Segunda parte:
Então:
Passo 7
Agora, multiplicamos as duas partes encontradas e tiramos a raiz quadrada:
Então, o denominador é 2500.
Passo 8
Agora, colocamos tudo junto na fórmula do “r”:
Resposta
Sim, o aumento no número de veículos está fortemente correlacionado com o aumento do tempo de deslocamento, já que o coeficiente de correlação é 1, mostrando uma relação positiva perfeita entre as duas variáveis.