Uma equipe de planejamento urbano deseja verificar se há uma correlação entre o número de veículos em uma estrada (X, em milhares) e o tempo médio de deslocamento (Y, em minutos). Os dados coletados foram:
Hora do dia N^0 de Veículos (X) Tempo Médio (Y)
7 h 5 10
8 h 10 20
9 h 15 30
1 0 h 20 40
1 1 h 25 50
a) Calcule o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y .
b) Explique se o aumento no número de veículos está fortemente correlacionado com o aumento do tempo de deslocamento.

Passo 1

Então, pessoal, vamos resolver um exercício de correlação linear! A questão nos pede para verificar se existe uma relação entre o número de veículos numa estrada (X, em milhares) e o tempo médio de deslocamento (Y, em minutos). Para isso, precisamos calcular o coeficiente de correlação linear entre essas duas variáveis usando os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de correlação linear. Esse coeficiente, geralmente representado pela letra “r”, mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O valor de “r” varia entre -1 e 1:
  • r = 1: correlação positiva perfeita.
  • r = -1: correlação negativa perfeita.
  • r = 0: nenhuma correlação linear.
Para calcular “r”, usamos a seguinte fórmula:
r = n(sum XY) - (sum X)(sum Y)raiz[nsum X^2 - (sum X)^2][nsum Y^2 - (sum Y)^2]
Onde:
  • n é o número de observações.
  • ΣXY é a soma dos produtos de X e Y.
  • ΣX e ΣY são as somas dos valores de X e Y, respectivamente.
  • ΣX² e ΣY² são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.

Passo 3

Vamos organizar os dados para facilitar os cálculos:
Hora do dia X (milhares) Y (minutos) XY
7h 5 10 50 25 100
8h 10 20 200 100 400
9h 15 30 450 225 900
10h 20 40 800 400 1600
11h 25 50 1250 625 2500
Agora, vamos somar cada coluna relevante:
  • ΣX = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75
  • ΣY = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150
  • ΣXY = 50 + 200 + 450 + 800 + 1250 = 2750
  • ΣX² = 25 + 100 + 225 + 400 + 625 = 1375
  • ΣY² = 100 + 400 + 900 + 1600 + 2500 = 5500

Passo 4

Agora, temos todos os valores que precisamos para a fórmula do coeficiente de correlação:
  • n = 5
Substituindo na fórmula:
r = 5(2750) - (75)(150)raiz[5(1375) - (75)^2][5(5500) - (150)^2]
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calcule o numerador:
5 times 2750 = 13750
75 times 150 = 11250
Então:
13750 - 11250 = 2500
Agora, o numerador é 2500.

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador, que envolve duas partes dentro das raízes:
Primeira parte:
5 times 1375 = 6875
75^2 = 5625
Então:
6875 - 5625 = 1250
Segunda parte:
5 times 5500 = 27500
150^2 = 22500
Então:
27500 - 22500 = 5000

Passo 7

Agora, multiplicamos as duas partes encontradas e tiramos a raiz quadrada:
1250 times 5000 = 6,250,000
raiz6,250,000 = 2500
Então, o denominador é 2500.

Passo 8

Agora, colocamos tudo junto na fórmula do “r”:
r = 25002500 = 1

Resposta

Sim, o aumento no número de veículos está fortemente correlacionado com o aumento do tempo de deslocamento, já que o coeficiente de correlação é 1, mostrando uma relação positiva perfeita entre as duas variáveis.

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