Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que supõe-se normalmente distribuída). Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 9 deseja-se realizar alguns testes e construção de intervalos de confiança (todos com 90% de confiança).
b) Realize o teste de hipóteses
versus
. Considere que a média amostral foi
o desvio padrão amostral foi
. Estime a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira média populacional for
.
b) Realize o teste de hipóteses
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a taxa de queima de um propulsor de foguetes, que a gente assume que segue uma distribuição normal. A gente pegou uma amostra de 9 foguetes e quer fazer um teste de hipótese e construir intervalos de confiança com 90% de confiança. No item b, a gente precisa testar se a média da taxa de queima é maior que 42 cm/s. Além disso, queremos estimar a probabilidade de cometer um erro do tipo II, ou seja, quando a verdadeira média é 41 cm/s, mesmo assim a gente não detecta essa diferença. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teste de hipóteses, distribuição t e cálculo de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as hipóteses que queremos testar. Temos:
- Hipótese nula (H₀): A média da taxa de queima é menor ou igual a 42 cm/s, ou seja, $ H₀: \mu \leq 42 , cm/s $.
- Hipótese alternativa (H₁): A média da taxa de queima é maior que 42 cm/s, ou seja, $ H₁: \mu > 42 , cm/s $.
Como a dica é que estamos interessados em saber se a média é maior que 42, usamos um teste unilateral à direita.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor crítico para o teste. Como a amostra é pequena (n = 9) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. O nível de confiança é de 90%, então o nível de significância é $ \alpha = 10% $ ou 0,10. Como é um teste unilateral, vamos usar $ \alpha = 0,10 $.
Grau de liberdade (df) = n - 1 = 9 - 1 = 8.
Consultando a tabela t para $ \alpha = 0,10 $ e df = 8, encontramos o valor crítico $ t_{crítico} \approx 1,397 $.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} = 43 , cm/s $ (média amostral)
- $ \mu_0 = 42 , cm/s $ (média sob H₀)
- $ s = 3 , cm/s $ (desvio padrão amostral)
- $ n = 9 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
- Se $ t > t_{crítico} $, rejeitamos H₀.
- Se $ t \leq t_{crítico} $, não rejeitamos H₀.
Aqui, $ t = 1 $ e $ t_{crítico} \approx 1,397 $. Como 1 ≤ 1,397, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 6
Agora, vamos estimar a probabilidade do erro tipo II, que acontece quando a verdadeira média é 41 cm/s, mas não rejeitamos H₀. Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, encontramos o valor de t correspondente ao limite de rejeição $ t_{crítico} = 1,397 $.
Queremos a probabilidade de $ t \leq 1,397 $ quando $ \mu = 41 $.
Calculamos o novo teste estatístico com $ \mu = 41 $:
Agora, queremos achar a probabilidade de não rejeitarmos H₀ quando $ \mu = 41 $, ou seja, $ P(t \leq 1,397) $ com $ t $ tendo média:
Consultando a tabela t para df = 8 e $ t = 1,397 $, encontramos a probabilidade acumulada $ P(t \leq 1,397) \approx 0,90 $. Porém, como a média verdadeira nos dá um deslocamento, a probabilidade de erro tipo II será $ 1 - 0,90 = 0,10 $ ou 10%.
Resposta
A probabilidade de cometer um erro tipo II, assumindo que a verdadeira média populacional é 41 cm/s, é de aproximadamente 10%.