3- Um engenheiro analisa o campo magnético resultante entre duas bobinas dispostas formando um triângulo com ângulos conhecidos. Se os lados opostos aos ângulos são a=3, b=5, e o ângulo entre eles é C=60^circ, sendo este ângulo oposto ao lado C . Descubra o ângulo A, situado entre b e c, o sen(A) e o cos (A). (1,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de trigonometria envolvendo um triângulo. A gente tem um triângulo com os lados opostos aos ângulos: a = 3 , b = 5 , e o ângulo entre eles, C = 60^circ . Nosso objetivo é descobrir o ângulo A , que fica entre os lados b e c , além de calcular sin(A) e cos(A) . Para isso, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei dos Senos, que diz:
asin(A) = bsin(B) = csin(C)
Como queremos encontrar o ângulo A , vamos isolar sin(A) :
asin(A) = csin(C) implies sin(A) = a cdot sin(C)c
Mas ainda não conhecemos o lado c . Para encontrar c , podemos usar a Lei dos Cossenos.

Passo 3

A Lei dos Cossenos é útil para encontrar um lado desconhecido quando temos dois lados e o ângulo entre eles. Ela é dada por:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos(C)
Vamos substituir os valores que temos:
c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 cdot 3 cdot 5 cdot cos(60^circ)
c^2 = 9 + 25 - 30 cdot cos(60^circ)
]
Sabemos que cos(60^circ) = 0,5 , então:
c^2 = 34 - 30 cdot 0,5 = 34 - 15 = 19
c = raiz19 approx 4,36

Passo 4

Agora que temos o valor de c , podemos usar a Lei dos Senos para encontrar sin(A) :
sin(A) = a cdot sin(C)c = 3 cdot sin(60^circ)raiz19
Sabemos que sin(60^circ) = raiz32 , então:
sin(A) = 3 cdot raiz32raiz19 = 3raiz32raiz19 approx 5,1968,72 approx 0,596

Passo 5

Para encontrar o ângulo A , vamos usar a função inversa do seno:
A = arcsin(0,596) approx 36,6^circ

Passo 6

Finalmente, para encontrar cos(A) , podemos usar a relação pitagórica:
cos(A) = raiz1 - sin^2(A) = raiz1 - (0,596)^2 = raiz1 - 0,355 = raiz0,645 approx 0,803

Resposta

O ângulo A é aproximadamente 36,6^circ , sin(A) approx 0,596 e cos(A) approx 0,803 .

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