Um engenheiro está avaliando a durabilidade de um novo tipo de cabo de aço. A especificação técnica afirma que a durabilidade média é de 2.000 horas. Para verificar essa afirmação, foi coletada uma amostra de 12 cabos, que apresentou uma média de 1.950 horas e um desviopadrão de 100 horas. Suponha que a durabilidade segue uma distribuição normal.
a) Formule as hipóteses nula e alternativa para verificar se a durabilidade média corresponde com a informada na especificação técnica.
b) Realize o teste com um nível de significância \alpha=0,05.
c) Realize o teste com um nível de significância \alpha=0,1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra de n=12 cabos de aço com média amostral \bar{x}=1950 horas e desvio-padrão amostral s=100 horas. Queremos testar, ao nível de significância \alpha, se a durabilidade média \mu difere do valor especificado de 2000 horas, assumindo normalidade da durabilidade.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste t bilateral:
H_0: \mu = 2000 \quad\text{versus}\quad H_1: \mu \neq 2000

Passo 3

Calculamos a estatística de teste
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{1950 - 2000}{100/\sqrt{12}} = \frac{-50}{100/3{,}4641} \approx -1{,}732.
O número de graus de liberdade é n-1=11.

Passo 4

Para \alpha=0{,}05 (teste bilateral), o valor crítico é
t_{0{,}975,\,11}\approx 2{,}201.
Como \bigl|t\bigr|=1{,}732 < 2{,}201, não rejeitamos H_0.

Passo 5

Para \alpha=0{,}10 (teste bilateral), o valor crítico é
t_{0{,}95,\,11}\approx 1{,}796.
Como \bigl|t\bigr|=1{,}732 < 1{,}796, também não rejeitamos H_0.

Resposta

a)
H_0: \mu = 2000,\quad H_1: \mu \neq 2000
b) Ao nível de 0{,}05, não rejeita-se H_0.
c) Ao nível de 0{,}10, não rejeita-se H_0.

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