O representante de um grupo comunitário informa a um investidor que a renda média familiar mensal na área é de 15.000,00 reais. Para a comunidade em questão, é possível supor que a renda familiar média mensal segue distribuição normal com desvio-padrão de 2.000,00 reais. Para uma amostra aleatória de n=15 famílias, a renda média familiar foi \bar{X}=14.000,00 reais. Considerando \alpha=0,05, testar a hipótese de que o representante da comunidade passou a informação correta.

Passo 1

O enunciado supõe que a renda familiar mensal segue distribuição normal com desvio-padrão conhecido \sigma=2000 reais. Tem-se uma amostra de tamanho n=15 com média amostral \bar{X}=14000 reais. Vamos testar, ao nível de significância \alpha=0,05,
H_0:\mu=15000 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu\neq15000
usando o teste- Z para média com \sigma conhecido.

Passo 2

Definimos a estatística de teste
Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
Z = \frac{14000 - 15000}{2000/\sqrt{15}} = \frac{-1000}{2000/\sqrt{15}} \approx -1,94.

Passo 3

Sob H_0, Z\sim N(0,1). Em teste bilateral com \alpha=0,05, os pontos críticos são
\pm z_{1-\alpha/2} = \pm z_{0,975} = \pm 1,96.
A região de rejeição é \{Z:|Z|>1,96\}.

Passo 4

O valor observado é Z_0\approx -1,94, e |Z_0|=1,94<1,96. Assim, Z_0 não cai na região de rejeição e não rejeitamos H_0.

Resposta

Não rejeitamos H_0 ao nível de significância \alpha=0,05. Não há evidência estatística para refutar a afirmação de que a renda média familiar mensal é R$ 15.000,00.

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