1. Um engenheiro civil está monitorando a espessura de uma camada de asfalto em uma estrada. A espessura X (em centímetros) é modelada como uma variável aleatória uniforme contínua no intervalo de 4 a 8 cm .
    (a) Qual é a probabilidade de que a espessura esteja entre 5 cm e 7 cm ?
    (b) Calcule o valor esperado (média) da espessura.
    (c) Calcule a variância da espessura.

Passo 1

O enunciado diz que a espessura X segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo [4,8]. Precisamos calcular:
• (a) \mathbb{P}(5 \le X \le 7)
• (b) \mathbb{E}(X)
• (c) \mathrm{Var}(X)
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de uma uniforme [a,b]:
f(x)=\frac{1}{b-a},\quad \mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2},\quad \mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}.

Passo 2

Primeiro, a densidade de probabilidade é constante:
f(x)=\frac{1}{8-4}=\frac{1}{4}.
Logo a probabilidade de X cair entre 5 e 7 é
P(5\le X\le7)=\int_{5}^{7}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{4}\,(7-5) =\frac{2}{4} =\frac12.

Passo 3

Para o valor esperado usamos
\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2} =\frac{4+8}{2} =6.

Passo 4

Para a variância aplicamos
\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12} =\frac{(8-4)^{2}}{12} =\frac{16}{12} =\frac{4}{3}.

Resposta

(a) \tfrac{1}{2}
(b) 6
(c) \tfrac{4}{3}

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