Nos exercícios 1 a 35, calcular a integral indefinida.
\int \cos x \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de substituição, pois vemos \sin x dentro da tangente e \cos x\,dx do lado de fora.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x
então
du = \cos x\,dx.
A integral passa a ser
\int \tan(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \tan(u), lembramos que \tan u = \frac{\sin u}{\cos u} e
\frac{d}{du}\bigl(\ln|\cos u|\bigr) =\frac{1}{\cos u}\cdot(-\sin u) =-\tan u.
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\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = \sin x e obtemos
-\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C

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