Nos exercícios 1 a 35, calcular a integral indefinida.
\int \frac{\operatorname{cotg}(1 / x)}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{cotg}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição simples e o fato de sabermos a primitiva de \cot u.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \frac{1}{x}.
Diferenciando, temos
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
\int \frac{\operatorname{cotg}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^{2}}\,dx =\int \operatorname{cotg}(u)\,\bigl(-du\bigr) =-\int \operatorname{cotg}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\ln\lvert\sin u\rvert\bigr] =\frac{\cos u}{\sin u} =\operatorname{cotg}(u),
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\int \operatorname{cotg}(u)\,du = \ln\lvert\sin u\rvert + C.
Portanto
-\int \operatorname{cotg}(u)\,du = -\ln\lvert\sin u\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u=1/x), a primitiva fica
-\ln\bigl\lvert\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr\rvert + C.

Resposta

-\ln\bigl\lvert\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr\rvert + C.

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