Um engenheiro civil quer redesenhar a estrada curva do Exercício anterior de tal maneira que um carro não terá que depender do atrito para fazer a curva sem derrapar. Ou seja, um carro se movendo com a velocidade designada pode fazer a curva mesmo quando a estrada está coberta de gelo. Tal rampa é geralmente inclinada, o que significa que a estrada é inclinada em direção à parte interna da curva. Suponha que a velocidade designada para a rampa seja de 13,4 m/s e o raio da curva é de 35,0 m. A que ângulo a curva deveria ser inclinada?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Um engenheiro civil quer redesenhar uma estrada curva de modo que um carro consiga fazer a curva sem depender do atrito, mesmo se a estrada estiver coberta de gelo. Para isso, a estrada é inclinada para o interior da curva. Precisamos descobrir o ângulo dessa inclinação, dado que a velocidade do carro é de 13,4 m/s e o raio da curva é de 35,0 m. Vamos usar conceitos de força centrípeta e inclinação de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um carro faz uma curva, ele precisa de uma força centrípeta para manter-se na trajetória circular. Essa força vem do atrito entre os pneus e a estrada. Porém, como queremos que o carro faça a curva sem depender do atrito, vamos usar a inclinação da estrada para fornecer essa força centrípeta.

Passo 3

A força que mantém o carro na curva é gerada pela componente horizontal da força normal da estrada. A força normal é perpendicular à superfície da estrada inclinada. Para relacionar a velocidade, o raio e a gravidade com o ângulo de inclinação, usamos a seguinte fórmula:
tan(theta) = v^2r cdot g
Aqui, é a velocidade do carro, é o raio da curva e é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
tan(theta) = (13,4)^235,0 cdot 9,81
Primeiro, calculamos o numerador:
(13,4)^2 = 179,56
Em seguida, o denominador:
35,0 cdot 9,81 = 343,35
Assim, temos:
tan(theta) = 179,56343,35 approx 0,5229

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta = arctan(0,5229) , usamos a função tangente inversa:
theta approx 27,4^circ
Calculando isso, obtemos:

Resposta

A curva deve ser inclinada em aproximadamente 27,4 graus para que o carro possa fazer a curva sem depender do atrito.

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