(0,3) Um engenheiro de computação tem desenvolvido um algoritmo para gerar números aleatórios inteiros no intervalo 0-9. Ao executar o algoritmo e gerar 1000 valores, ele obtém observações com as seguintes frequências .Teste pela Quiquadrado ao nível de significâncias de 5 \%.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Observado 94 93 112 101 101 104 95 100 99 101
Esperado 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

Passo 1

O enunciado pede um teste de aderência (qui-quadrado) para verificar se os dígitos gerados pelo algoritmo seguem uma distribuição uniforme em \{0,1,\dots,9\}. Foram observadas 1000 tiragens com frequências dadas, e sob a hipótese de uniformidade cada dígito teria probabilidade 0,1, logo frequência esperada E_i=100 em cada categoria. O nível de significância é \alpha=0{,}05.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\;p_0=p_1=\cdots=p_9=0{,}1
H_1:\;\text{ao menos um }p_i\neq0{,}1.

Passo 3

O estatístico do teste é
\chi^2 \;=\;\sum_{i=0}^{9}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i},
onde O_i são as frequências observadas e E_i=100. Calculando termo a termo:
\begin{aligned} \frac{(94-100)^2}{100}&=0,36,& \frac{(93-100)^2}{100}&=0,49,\\\ \frac{(112-100)^2}{100}&=1,44,& \frac{(101-100)^2}{100}&=0,01,\\\ \frac{(101-100)^2}{100}&=0,01,& \frac{(104-100)^2}{100}&=0,16,\\\ \frac{(95-100)^2}{100}&=0,25,& \frac{(100-100)^2}{100}&=0,00,\\\ \frac{(99-100)^2}{100}&=0,01,& \frac{(101-100)^2}{100}&=0,01. \end{aligned}
Somando todos os termos obtém-se
\chi^2 \approx 2{,}74.

Passo 4

Sob H_0, \chi^2 tem k-1=10-1=9 graus de liberdade. O valor crítico para \alpha=0{,}05 é
\chi^2_{9;0{,}95}\approx 16{,}92.
Como
2{,}74 < 16{,}92,
não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência para rejeitar a hipótese de uniformidade ao nível de 5\%.

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