Um engenheiro deseja testar se a fração de itens defeituosos em um certo processo é maior que 10 % para autorizar uma inspeção geral na fábrica. Para isso, uma amostra aleatória com 100 itens produzidos foi testada e 12 deles tiveram defeitos. Com essa amostra observada, e admitindo nível de significância de 5%:
Defina a região crítica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um engenheiro quer saber se mais de 10% dos itens produzidos estão defeituosos para decidir se precisa fazer uma inspeção geral na fábrica. Para isso, ele testou 100 itens e encontrou 12 defeituosos. A gente vai usar estatística inferencial, mais especificamente teste de hipótese para resolver isso. Vamos precisar entender como definir a região crítica usando o nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que a fração de itens defeituosos é igual a 10%, ou seja, H₀: p = 0,10. A hipótese alternativa (H₁) é que a fração é maior que 10%, então H₁: p > 0,10. Como queremos saber se é maior, será um teste unilateral à direita.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição binomial. Como temos uma amostra grande (n = 100), podemos usar a aproximação normal. A média (μ) é n * p = 100 * 0,10 = 10. O desvio padrão (σ) é √(n * p * (1 - p)) = √(100 * 0,10 * 0,90) = √(9) = 3.

Passo 4

Definindo o nível de significância de 5%, queremos encontrar o valor crítico que deixa 5% da área na cauda direita da distribuição. Usando a tabela z, o valor que corresponde a 5% na cauda direita é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora, calculamos o valor crítico usando a fórmula: Valor Crítico = μ + z * σ = 10 + 1,645 * 3 ≈ 10 + 4,935 = 14,935. Como não podemos ter uma fração de item, arredondamos para cima, ficando 15.

Resposta

A região crítica é quando o número de itens defeituosos é igual ou maior que 15.

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