Um engenheiro deseja testar se a fração de itens defeituosos em um certo processo é maior que 10 % para autorizar uma inspeção geral na fábrica. Para isso, uma amostra aleatória com 100 itens produzidos foi testada e 12 deles tiveram defeitos. Com essa amostra observada, e admitindo nível de significância de 5%:
Qual a conclusão obtida com os dados da amostra? A inspeção deve ser realizada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Um engenheiro quer saber se mais de 10% dos itens produzidos estão com defeito. Para descobrir isso, ele pegou uma amostra de 100 itens e encontrou 12 com defeitos. A gente vai usar teste de proporção para ver se essa quantidade de defeitos é estatisticamente maior que 10%, usando um nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que iremos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de itens defeituosos é igual a 10%, ou seja, $ p = 0.10 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de itens defeituosos é maior que 10%, ou seja, $ p > 0.10 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra, que é o número de itens defeituosos dividido pelo total da amostra:
p = 12100 = 0.12
Então, a proporção observada é 12%.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção usando a fórmula:
Erro Padrão = raizp0 (1 - p0)n = raiz0.10 times 0.90100 = raiz0.09100 = raiz0.0009 = 0.03 ã
Onde $ p_0 = 0.10 $ é a proporção da hipótese nula e $ n = 100 $ é o tamanho da amostra.

Passo 5

Em seguida, calculamos o estatístico de teste Z:
Z = p - p0Erro Padrão = 0.12 - 0.100.03 = 0.020.03 approx 0.6667 ã
Esse valor de Z nos indica quantos desvios padrão a nossa proporção observada está acima da proporção hipotética.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor-p correspondente a esse Z. Como nossa hipótese alternativa é $ p > 0.10 $, é um teste unilateral à direita. Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
p > 0.10
Isso significa que há cerca de 25,25% de chance de observarmos uma proporção igual ou maior que 12% se a verdadeira proporção fosse 10%.

Passo 7

Comparamos o valor-p com o nível de significância de 5%:
0.2525 > 0.05
Como o valor-p é maior que 0.05, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados da amostra e no nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que mais de 10% dos itens são defeituosos. Portanto, a inspeção geral na fábrica não deve ser realizada.

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