Um engenheiro deseja testar se a fração de itens defeituosos em um certo processo é maior que
para autorizar uma inspeção geral na fábrica. Para isso, uma amostra aleatória com 100 itens produzidos foi testada e 12 deles tiveram defeitos. Com essa amostra observada, e admitindo nível de significância de 5%:
Qual a conclusão obtida com os dados da amostra? A inspeção deve ser realizada?
Qual a conclusão obtida com os dados da amostra? A inspeção deve ser realizada?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Um engenheiro quer saber se mais de 10% dos itens produzidos estão com defeito. Para descobrir isso, ele pegou uma amostra de 100 itens e encontrou 12 com defeitos. A gente vai usar teste de proporção para ver se essa quantidade de defeitos é estatisticamente maior que 10%, usando um nível de significância de 5%.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que iremos testar:
- Hipótese Nula (H₀): A proporção de itens defeituosos é igual a 10%, ou seja, $ p = 0.10 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de itens defeituosos é maior que 10%, ou seja, $ p > 0.10 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra, que é o número de itens defeituosos dividido pelo total da amostra:
Então, a proporção observada é 12%.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da proporção usando a fórmula:
Onde $ p_0 = 0.10 $ é a proporção da hipótese nula e $ n = 100 $ é o tamanho da amostra.
Passo 5
Em seguida, calculamos o estatístico de teste Z:
Esse valor de Z nos indica quantos desvios padrão a nossa proporção observada está acima da proporção hipotética.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor-p correspondente a esse Z. Como nossa hipótese alternativa é $ p > 0.10 $, é um teste unilateral à direita. Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que há cerca de 25,25% de chance de observarmos uma proporção igual ou maior que 12% se a verdadeira proporção fosse 10%.
Passo 7
Comparamos o valor-p com o nível de significância de 5%:
Como o valor-p é maior que 0.05, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos dados da amostra e no nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que mais de 10% dos itens são defeituosos. Portanto, a inspeção geral na fábrica não deve ser realizada.