Suponha que uma fábrica de componentes eletrônicos afirma que a taxa de defeitos de seus resistores é de 10 \%. Um engenheiro de qualidade deseja verificar essa afirmação e coleta uma amostra aleatória de 10 resistores para testar. Considere a variável aleatória: X= número de resistores defeituosos na amostra de 10 componentes eletrônicos. Qual a probabilidade de
(a) encontrar exatamente 2 resistores defeituosos na amostra?
(b) encontrar pelo menos 2 resistores defeituosos na amostra?

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de defeitos é de 10\% e que somos amostras de n=10 resistores. Definimos a variável aleatória \displaystyle X = número de resistores defeituosos na amostra.
Como cada resistor é defeituoso com probabilidade p=0{,}1 e não defeituoso com 1-p=0{,}9, temos
X \sim \mathrm{Binomial}(n=10,\;p=0{,}1).

Passo 2

Para um modelo binomial, a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios é dada por
P(X=k) \;=\; \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.
No caso de (a) queremos k=2, n=10, p=0{,}1.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle P(X=2):
P(X=2) =\binom{10}{2}\,(0{,}1)^2\,(0{,}9)^8 =45 \times 0{,}01 \times 0{,}9^8 \approx 0{,}1937.

Passo 4

Para (b) precisamos de
P(X\ge2) =1 - P(X\le1) =1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].

Passo 5

Calculamos
P(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}1)^0(0{,}9)^{10} =0{,}9^{10}\approx0{,}3487,
P(X=1)=\binom{10}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^9 =10\times0{,}1\times0{,}9^9\approx0{,}3874.
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P(X\ge2) =1 - (0{,}3487+0{,}3874) \approx0{,}2639.

Resposta

(a) P(X=2)\approx0{,}1937.
(b) P(X\ge2)\approx0{,}2639.

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