Um sistema de comunicação é composto por 5 repetidores, cada um com uma probabilidade de falha de 0,05 . O sistema só funciona se pelo menos 4 repetidores estiverem operando. Considere a variável aleatória: X= número de repetidores que funcionam, em que a distribuição de X segue uma distribuição binomial. Qual a probabilidade do sistema funcionar?

Passo 1

O enunciado diz que há 5 repetidores independentes, cada um com probabilidade de operar igual a
p = 1 - 0,05 = 0,95.
Definimos X como o número de repetidores que funcionam. Então
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=5,\;p=0,95\bigr).

Passo 2

O sistema funciona se pelo menos 4 repetidores operarem, ou seja, se X\ge4. Logo
P(\text{sistema funciona}) = P(X\ge4) = P(X=4) + P(X=5).

Passo 3

Pela fórmula da binomial, para k=4:
P(X=4)=\binom{5}{4}\,(0,95)^4\,(0,05)^{1} =\;5\,(0,95)^4\,(0,05).

Passo 4

Para k=5:
P(X=5)=\binom{5}{5}\,(0,95)^5\,(0,05)^{0} =\;(0,95)^5.

Passo 5

Somando os dois termos:
P(X\ge4) =5\,(0,95)^4\,(0,05)\;+\;(0,95)^5 \approx0,20363+0,77378 \approx0,97741.

Resposta

A probabilidade de o sistema funcionar é
P(X\ge4) =5\,(0,95)^4\,(0,05)\;+\;(0,95)^5 \approx0,9774.

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