Num estudo das propriedades da inércia térmica de um tipo de concreto, foram testadas 5 amostras do material, e as medidas de temperatura ( em ^circ C ) em seu interior foram reportadas: 23,01; 22,22; 22,04; 22,62; 22,59.
Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo de confiança bilateral para a temperatura média. ( 22,026 <= mu <= 22,966 m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as temperaturas medidas em cinco amostras de concreto: 23,01°C; 22,22°C; 22,04°C; 22,62°C; e 22,59°C. A gente precisa construir um intervalo de confiança bilateral para a temperatura média desse tipo de concreto. Isso significa que vamos estimar um intervalo no qual a média real da temperatura está com uma certa confiança (geralmente 95%).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral dessas temperaturas. A média é a soma de todas as temperaturas dividida pelo número de amostras.
barx = 23,01 + 22,22 + 22,04 + 22,62 + 22,595

Passo 3

Somando os valores:
23,01 + 22,22 = 45,23
45,23 + 22,04 = 67,27
67,27 + 22,62 = 89,89
89,89 + 22,59 = 112,48
Então,
barx = 112,485 = 22,496 , ^circC

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral. O desvio padrão nos mostra o quanto as temperaturas variam em relação à média.
Primeiro, para cada temperatura, subtraímos a média e elevamos ao quadrado:
(23,01 - 22,496)^2 = (0,514)^2 = 0,264196
(22,22 - 22,496)^2 = (-0,276)^2 = 0,076176
(22,04 - 22,496)^2 = (-0,456)^2 = 0,207936
(22,62 - 22,496)^2 = (0,124)^2 = 0,015376
(22,59 - 22,496)^2 = (0,094)^2 = 0,008836
Somamos esses valores:
0,264196 + 0,076176 + 0,207936 + 0,015376 + 0,008836 = 0,57252
Dividimos pela quantidade de amostras menos um (n-1 = 4):
s^2 = 0,572524 = 0,14313
Então, o desvio padrão amostral é:
s = raiz0,14313 approx 0,3785 , ^circC

Passo 5

Como temos uma amostra pequena (n=5) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. Primeiro, vamos escolher o nível de confiança. Geralmente, usa-se 95%.
Para um nível de confiança de 95% e 4 graus de liberdade (n-1 = 5-1 = 4), consultamos a tabela t e encontramos o valor crítico t ≈ 2,776.

Passo 6

A fórmula do intervalo de confiança bilateral é:
barx pm t times sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • t é o valor crítico da tabela t,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o número de amostras.
Substituindo os valores:
22,496 pm 2,776 times 0,3785raiz5

Passo 7

Calculando a margem de erro:
0,3785raiz5 approx 0,37852,236 approx 0,1692
Então,
2,776 times 0,1692 approx 0,4700

Passo 8

Agora, aplicamos a margem de erro à média:
22,496 - 0,4700 = 22,026
22,496 + 0,4700 = 22,966

Resposta

O intervalo de confiança bilateral para a temperatura média é:
22,026 <= mu <= 22,966 , ^circC

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