Um engenheiro precisa delimitar um terreno retangular com 40 metros de cerca. Desejase usar dois lados iguais para largura e dois lados para comprimento. A área
em função da largura
(em metros) é dada pela função
.
a) Qual largura
fornece a maior área possível?
b) Qual é essa área máxima?
a) Qual largura
b) Qual é essa área máxima?
Passo 1
Temos um terreno retangular com perímetro fixo de 40 m e definimos a largura como
. Isso leva à função área
. O conteúdo aqui é otimização de funções quadráticas: vamos precisar usar derivada ou completar o quadrado para encontrar o máximo dessa parábola.
Passo 2
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero para achar o ponto crítico. Como
, temos:
Igualando a zero:
Como o coeficiente de
é negativo, esse ponto crítico corresponde ao máximo.
Passo 3
Agora, basta calcular a área máxima substituindo
em
:
Resposta
a) A largura que fornece a maior área é
metros.
b) A área máxima é metros quadrados.
b) A área máxima é