Um engenheiro precisa delimitar um terreno retangular com 40 metros de cerca. Desejase usar dois lados iguais para largura e dois lados para comprimento. A área A(x) em função da largura x (em metros) é dada pela função A(x)=x(20-x).
a) Qual largura x fornece a maior área possível?
b) Qual é essa área máxima?

Passo 1

Temos um terreno retangular com perímetro fixo de 40 m e definimos a largura como x. Isso leva à função área A(x)=x(20-x). O conteúdo aqui é otimização de funções quadráticas: vamos precisar usar derivada ou completar o quadrado para encontrar o máximo dessa parábola.

Passo 2

Calculamos a derivada de A(x) e igualamos a zero para achar o ponto crítico. Como A(x)=x(20-x)=20x - x^2, temos:
A'(x)=20 - 2x
Igualando a zero:
20 - 2x = 0 ,implies, x = 10
Como o coeficiente de -x^2 é negativo, esse ponto crítico corresponde ao máximo.

Passo 3

Agora, basta calcular a área máxima substituindo x=10 em A(x):
A(10) = 10 cdot (20 - 10) = 10 cdot 10 = 100

Resposta

a) A largura que fornece a maior área é x = 10 metros.
b) A área máxima é 100 metros quadrados.

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