(… pontos) (use aproximações com 4 casas decimais) Calcule uma aproximação de \int_{-1}^{1} e^{x^{2}} x^{2} d x usando a:
Integral pela Regra de Simpson Repetida com \mathrm{n}=8.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação da integral
\int_{-1}^{1} e^{x^{2}} x^{2}\,dx
usando a Regra de Simpson repetida (composta) com \mathrm{n}=8.
Informações dadas e o que precisamos: \n
  • Limites do intervalo: a=-1 e b=1. \n
  • Função integranda: f(x)=e^{x^{2}} x^{2}. \n
  • Número de subintervalos: \mathrm{n}=8 (par, portanto aplicável à Regra de Simpson composta). \n
    Objetivo final: calcular a aproximação numérica da integral com aproximações com 4 casas decimais.

Passo 2

Apresentando a Regra de Simpson composta (vou explicar cada parte). \n
A Regra de Simpson composta para um intervalo [a,b] dividido em \mathrm{n} subintervalos de mesma largura h (com \mathrm{n} par) é:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_{0})+f(x_{n}) + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{i}) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{i})\Big).í
Explicando as variáveis: \n
  • h é a largura de cada subintervalo: h=\dfrac{b-a}{\mathrm{n}}. \n
  • x_{i}=a+i\,h são os pontos (nós), com i=0,1,\dots,\mathrm{n}. \n
  • Os somatórios reúnem os valores de f em índices ímpares (multiplos por 4) e em índices pares internos (multiplos por 2). \n
    A ideia: aproximamos a função por polinômios quadráticos em pares de subintervalos; daí os pesos 4 e 2 aparecem.

Passo 3

Calcular h e os nós x_{i}. \n
h=\frac{b-a}{\mathrm{n}}=\frac{1-(-1)}{8}=\frac{2}{8}=0,25.
Os nós são x_{i}= -1 + i\cdot 0,25 para i=0,\dots,8. Assim:
\begin{aligned} x_{0}&=-1,\\\ x_{1}&=-0,75,\\\ x_{2}&=-0,5,\\\ x_{3}&=-0,25,\\\ x_{4}&=0,\\\ x_{5}&=0,25,\\\ x_{6}&=0,5,\\\ x_{7}&=0,75,\\\ x_{8}&=1. \end{aligned}

Passo 4

Calcular f(x_{i})=e^{x_{i}^{2}} x_{i}^{2} em cada nó. Observação útil: a função é par (pois depende de x^{2}), então f(-x)=f(x) — isso reduz trabalho (valores simétricos). Vou apresentar as aproximações com 4 casas decimais pedidas: \n
\begin{aligned} f(x_{0})=f(-1)&=e^{1}\cdot 1=2,7182818285\approx 2,7183,\\\ f(x_{1})=f(-0,75)&\approx 0,9872180702\approx 0,9872,\\\ f(x_{2})=f(-0,5)&\approx 0,3210063542\approx 0,3210,\\\ f(x_{3})=f(-0,25)&\approx 0,0665309037\approx 0,0665,\\\ f(x_{4})=f(0)&=0,0000,\\\ f(x_{5})=f(0,25)&\approx 0,0665309037\approx 0,0665,\\\ f(x_{6})=f(0,5)&\approx 0,3210063542\approx 0,3210,\\\ f(x_{7})=f(0,75)&\approx 0,9872180702\approx 0,9872,\\\ f(x_{8})=f(1)&=e^{1}\cdot 1\approx 2,7183. \end{aligned}
(Valores arredondados para 4 casas decimais conforme pedido.)

Passo 5

Montar os somatórios da fórmula usando os valores arredondados: \n
  • f(x_{0})+f(x_{8}):
f(x_{0})+f(x_{8})\approx 2,7183+2,7183=5,4366.
  • Soma dos índices ímpares i=1,3,5,7:
\sum_{\text{ímpares}} f(x_{i}) \approx 0,9872+0,0665+0,0665+0,9872=2,1074.í
  • Soma dos índices pares internos i=2,4,6:
\sum_{\text{pares}} f(x_{i}) \approx 0,3210+0,0000+0,3210=0,6420.

Passo 6

Aplicar a Regra de Simpson composta. \n
Primeiro calcule o fator \dfrac{h}{3}:
\frac{h}{3}=\frac{0,25}{3}\approx 0,0833333333.
Agora aplicar a fórmula:
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big( (f(x_{0})+f(x_{8})) + 4\sum_{\text{ímpares}} f(x_{i}) + 2\sum_{\text{pares}} f(x_{i})\Big).í
Substituindo os valores numéricos arredondados:
\begin{aligned} \text{Interior} &\approx 5,4366 + 4\cdot 2,1074 + 2\cdot 0,6420 \\\ &= 5,4366 + 8,4296 + 1,2840 \\\ &= 15,1502. \end{aligned}
Multiplicando pelo fator \dfrac{h}{3}:
\int_{-1}^{1} e^{x^{2}} x^{2}\,dx \approx 0,0833333333 \cdot 15,1502 \approx 1,2625\\ (\text{aprox. com 4 casas decimais}).

Resposta

\;1,2625

Exercícios relacionados