(… pontos) (use aproximações com 4 casas decimais) Calcule uma aproximação de
usando a:
Integral pela Quadratura Gaussiana.
Integral pela Quadratura Gaussiana.
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
usando a quadratura de Gauss. Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Devemos fornecer aproximações com 4 casas decimais.
Observação: o enunciado não especifica o número de pontos da quadratura. Vou escolher a quadratura de Gauss-Legendre compontos (opção simples, comum em provas quando não especificam), e vou justificar essa escolha nos passos seguintes.
Passo 2
O que é a quadratura de Gauss-Legendre (curta aula):
- A quadratura de Gauss-Legendre aproxima integrais no intervalo
por uma soma ponderada
onde
são os pontos (nós) e
os pesos escolhidos para que a fórmula seja exata para polinômios de grau até
.
- Para
(o caso que usaremos), a fórmula é exata para polinômios até grau . Mesmo que nossa função não seja polinomial, a regra costuma dar uma boa aproximação para funções suaves.
Passo 3
Por que escolhi
:
- O enunciado não informou
. Pelo algoritmo que definimos, optamos pelo método mais básico e prático: Gauss-Legendre com . Essa escolha é comum em provas e rápida de calcular à mão. - Se precisássemos mais precisão poderíamos usar
ou maior, mas já dá uma aproximação razoável e é facilmente calculável sem muitas operações.
Passo 4
Nós e pesos para
(valores padrão da tabela Gauss-Legendre):
- Os nós são
- Os pesos são
Portanto a aproximação é
Passo 5
Explorando simetria para simplificar (dica prática):
- Nossa função
é par, porque e são funções pares; logo . - Com nós simétricos e pesos iguais, temos
- Calculemos então
. Primeiro note que
Assim
Passo 6
Avaliação numérica (com detalhes):
- Calcule
. Usando uma calculadora/expansão: . - Então
- Multiplicando por
(pela simetria),
Arredondando para 4 casas decimais obtemos
.