(… pontos) (use aproximações com 4 casas decimais) Calcule uma aproximação de \int_{-1}^{1} e^{x^{2}} x^{2} d x usando a:
Integral pela Quadratura Gaussiana.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
\int_{-1}^{1} e^{x^{2}} x^{2}\,dx
usando a quadratura de Gauss. Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [-1,1].
  • A função integranda é f(x)=e^{x^{2}}x^{2}.
  • Devemos fornecer aproximações com 4 casas decimais.
    Observação: o enunciado não especifica o número de pontos da quadratura. Vou escolher a quadratura de Gauss-Legendre com n=2 pontos (opção simples, comum em provas quando não especificam), e vou justificar essa escolha nos passos seguintes.

Passo 2

O que é a quadratura de Gauss-Legendre (curta aula):
  • A quadratura de Gauss-Legendre aproxima integrais no intervalo [-1,1] por uma soma ponderada
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\,f(x_i),
onde x_i são os pontos (nós) e w_i os pesos escolhidos para que a fórmula seja exata para polinômios de grau até 2n-1.
  • Para n=2 (o caso que usaremos), a fórmula é exata para polinômios até grau 3. Mesmo que nossa função não seja polinomial, a regra costuma dar uma boa aproximação para funções suaves.

Passo 3

Por que escolhi n=2:
  • O enunciado não informou n. Pelo algoritmo que definimos, optamos pelo método mais básico e prático: Gauss-Legendre com n=2. Essa escolha é comum em provas e rápida de calcular à mão.
  • Se precisássemos mais precisão poderíamos usar n=3 ou maior, mas n=2 já dá uma aproximação razoável e é facilmente calculável sem muitas operações.

Passo 4

Nós e pesos para n=2 (valores padrão da tabela Gauss-Legendre):
  • Os nós são
x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Os pesos são
w_1 = 1,\qquad w_2 = 1.
Portanto a aproximação é
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 5

Explorando simetria para simplificar (dica prática):
  • Nossa função f(x)=e^{x^{2}}x^{2} é par, porque x^{2} e e^{x^{2}} são funções pares; logo f(-x)=f(x).
  • Com nós simétricos e pesos iguais, temos
f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\,f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Calculemos então f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right). Primeiro note que
\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{1}{3}.
Assim
f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=e^{1/3}\cdot\frac{1}{3}.

Passo 6

Avaliação numérica (com detalhes):
  • Calcule e^{1/3}. Usando uma calculadora/expansão: e^{1/3}\approx 1,3956124251.
  • Então
f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 1,3956124251\cdot 0,3333333333 \approx 0,4652041417.
  • Multiplicando por 2 (pela simetria),
\text{aprox. pela quadratura de Gauss 2 pontos} \approx 2\cdot 0,4652041417 \approx 0,9304082834.
Arredondando para 4 casas decimais obtemos 0,9304.

Resposta

0,9304

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