Q1 - (5.0) Um Engenheiro precisa resolver o sistema abaixo usando a fatoração A=L U :
\begin{aligned} 5 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =-8 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & =5 \\\ x_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =8 \end{aligned}
Escreva o sistema acima na forma A x=b onde A é uma matriz de ordem 3 .
(a-0.5) Determine as Matrizes: A e b.
(b - 0.5) Calcule a matriz L.
(c - 0.5) Calcule o vetor x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{t}, usando a fatoração L U.
(d - 0.5) Calcule a primeira coluna da inversa da matriz A, usando a fatoração L U.
(e-0.5) Calcule o determinante de A usando a fatoração L U.
(f-0.6) Calcule as normas: linha, coluna e euclidiana da matriz A.
( g-0.5 ) Determine o polinômio característico da matriz A.
(h-0.5) Justifique porque as colunas da matriz A são Linearmente Independentes.
(i-0.9) Determine uma base ortonormal a partir das colunas da matriz A.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 5x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-8,\\\\ 3x_{1}+x_{2}+4x_{3}=5,\\\ x_{1}+x_{2}+3x_{3}=8 \end{cases}
usando fatoração A=LU, além de extrair de LU a primeira coluna de A^{-1}, o determinante, normas de A, o polinômio característico, justificar independência das colunas e obter uma base ortonormal a partir das colunas de A. O conteúdo principal é decomposição LU (método de Doolittle), substituição direta e retroativa, cálculo de determinante e normas e Gram–Schmidt.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma Ax=b, com
A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-8\\\ 5\\\ 8\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos Doolittle para obter L e U com diag L =1:
  • l_{21}=3/5,\;l_{31}=1/5.
  • u_{11}=5,\;u_{12}=2,\;u_{13}=1.
  • u_{22}=1-(3/5)\cdot2=-1/5,\quad u_{23}=4-(3/5)\cdot1=17/5.
  • l_{32}=\bigl(1-(1/5)\cdot2\bigr)/(-1/5)=-3.
  • u_{33}=3-(1/5)\cdot1-(-3)\cdot(17/5)=13.
    Logo,
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 3/5 & 1 & 0\\\\ 1/5 & -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 0 & -1/5 & 17/5\\\\ 0 & 0 & 13 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para Ax=b resolvemos Ly=b e depois Ux=y:
  • y_{1}=-8,\;y_{2}=5-(3/5)(-8)=49/5,\;y_{3}=8-(1/5)(-8)-(-3)(49/5)=39.
  • Retroativa:
    x_{3}=39/13=3, x_{2}=\bigl(49/5-(17/5)\cdot3\bigr)/(-1/5)=2, x_{1}=\bigl(-8-2\cdot2-1\cdot3\bigr)/5=-3.
    Logo x=(-3,2,3)^{t}.

Passo 5

Para a primeira coluna de A^{-1} tomamos b=e_{1}=(1,0,0)^{t}:
  • Ly=e_{1} y_{1}=1,\;y_{2}=-3/5,\;y_{3}=-2.
  • Ux=y
    x_{3}=-2/13,\;x_{2}=[-3/5-(17/5)(-2/13)]/(-1/5)=5/13, x_{1}=[1-2\cdot(5/13)-1\cdot(-2/13)]/5=1/13.
    Logo a primeira coluna de A^{-1} é \bigl(1/13,5/13,-2/13\bigr)^{t}.

Passo 6

O determinante de A é o produto dos pivôs de U: \det(A)=5\cdot(-1/5)\cdot13=-13.

Passo 7

As normas pedidas são:
  • Norma linha (infinito): \max\{8,8,5\}=8.
  • Norma coluna (1): \max\{9,4,8\}=9.
  • Norma euclidiana (Frobenius):
    \sqrt{5^{2}+2^{2}+1^{2}+3^{2}+1^{2}+4^{2}+1^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{67}.

Passo 8

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) =\,-\lambda^{3}+9\lambda^{2}-12\lambda-13,
ou, em forma monica,
p(\lambda)=\lambda^{3}-9\lambda^{2}+12\lambda+13.

Passo 9

Como \det(A)=-13\neq0, a matriz A é invertível e suas colunas são linearmente independentes.

Passo 10

Aplicando Gram–Schmidt às colunas de A:
  • u_{1}=(5,3,1),\quad e_{1}=u_{1}/\|u_{1}\|=(5,3,1)/\sqrt{35}.
  • v_{2}=(2,1,1)-\pro_{e_{1}}(2,1,1)=(0,-1/5,3/5),\quad e_{2}=v_{2}/\|v_{2}\|=(0,-1,3)/\sqrt{10}.
  • v_{3}=(1,4,3)-\pro_{e_{1}}(1,4,3)-\pro_{e_{2}}(1,4,3),
    simplifica-se para (13/14)(-2,3,1),
    e_{3}=(-2,3,1)/\sqrt{14}.
    Portanto uma base ortonormal é \{(5,3,1)/\sqrt{35},\,(0,-1,3)/\sqrt{10},\,(-2,3,1)/\sqrt{14}\}.

Resposta

(a)
A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}-8\\\ 5\\\ 8\end{pmatrix}.
(b)
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 3/5 & 1 & 0\\\\ 1/5 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
(c) \displaystyle x=(-3,\,2,\,3)^{t}.
(d) Primeira coluna de A^{-1}: \displaystyle (1/13,\,5/13,\,-2/13)^{t}.
(e) \displaystyle \det(A)=-13.
(f) \displaystyle \|A\|_{\infty}=8,\\ \|A\|_{1}=9,\\ \|A\|_{F}=\sqrt{67}.
(g) \displaystyle p(\lambda)=\lambda^{3}-9\lambda^{2}+12\lambda+13.
(h) \det(A)\neq0 implica que suas colunas são linearmente independentes.
(i) Uma base ortonormal: \displaystyle \bigl\{(5,3,1)/\sqrt{35},\,(0,-1,3)/\sqrt{10},\,(-2,3,1)/\sqrt{14}\bigr\}.

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