Escreva o sistema acima na forma A x=b onde A é uma matriz de ordem 3 .
(a-0.5) Determine as Matrizes: A e b.
(b - 0.5) Calcule a matriz L.
(c - 0.5) Calcule o vetor x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{t}, usando a fatoração L U.
(d - 0.5) Calcule a primeira coluna da inversa da matriz A, usando a fatoração L U.
(e-0.5) Calcule o determinante de A usando a fatoração L U.
(f-0.6) Calcule as normas: linha, coluna e euclidiana da matriz A.
( g-0.5 ) Determine o polinômio característico da matriz A.
(h-0.5) Justifique porque as colunas da matriz A são Linearmente Independentes.
(i-0.9) Determine uma base ortonormal a partir das colunas da matriz A.
usando fatoração A=LU, além de extrair de LU a primeira coluna de A^{-1}, o determinante, normas de A, o polinômio característico, justificar independência das colunas e obter uma base ortonormal a partir das colunas de A. O conteúdo principal é decomposição LU (método de Doolittle), substituição direta e retroativa, cálculo de determinante e normas e Gram–Schmidt.
Retroativa: x_{3}=39/13=3, x_{2}=\bigl(49/5-(17/5)\cdot3\bigr)/(-1/5)=2, x_{1}=\bigl(-8-2\cdot2-1\cdot3\bigr)/5=-3.
Logo x=(-3,2,3)^{t}.
Passo 5
Para a primeira coluna de A^{-1} tomamos b=e_{1}=(1,0,0)^{t}:
Ly=e_{1} dá y_{1}=1,\;y_{2}=-3/5,\;y_{3}=-2.
Ux=y dá x_{3}=-2/13,\;x_{2}=[-3/5-(17/5)(-2/13)]/(-1/5)=5/13, x_{1}=[1-2\cdot(5/13)-1\cdot(-2/13)]/5=1/13.
Logo a primeira coluna de A^{-1} é \bigl(1/13,5/13,-2/13\bigr)^{t}.
Passo 6
O determinante de A é o produto dos pivôs de U: \det(A)=5\cdot(-1/5)\cdot13=-13.
v_{3}=(1,4,3)-\pro_{e_{1}}(1,4,3)-\pro_{e_{2}}(1,4,3),
simplifica-se para (13/14)(-2,3,1), e_{3}=(-2,3,1)/\sqrt{14}.
Portanto uma base ortonormal é \{(5,3,1)/\sqrt{35},\,(0,-1,3)/\sqrt{10},\,(-2,3,1)/\sqrt{14}\}.