2^{\mathrm{a}} Questão (2,5 pontos): Determine a solução do PVI : \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y-x^{2}} ; x \neq 0 \\\ y(1)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y - x^{2}},&x\neq0,\\\ y(1)=-2, \end{cases}
que é uma equação de primeira ordem do tipo homogênea porque a razão \displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y - x^{2}}
é função de y/x. Para resolvê-la, vamos usar a substituição característica de equações homogêneas:
y = x\,u(x),
de modo que u = y/x e
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Substituindo y=xu na equação original, o lado direito vira
\frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y - x^{2}} =\frac{x^{2}+x^{2}u^{2}}{x\,(x\,u)-x^{2}} =\frac{x^{2}(1+u^{2})}{x^{2}(u-1)} =\frac{1+u^{2}}{u-1}.
Portanto a EDO fica
u + x\,\frac{du}{dx} =\frac{1+u^{2}}{u-1} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{du}{dx} =\frac{1+u^{2}}{u-1}-u =\frac{1+u^{2}-u(u-1)}{u-1} =\frac{1+u}{u-1}.

Passo 3

Isto é uma equação separável em u e x:
\frac{u-1}{u+1}\,du =\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int\!\Bigl(1-\frac{2}{u+1}\Bigr)\,du =\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad u - 2\ln\lvert u+1\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 4

Voltando a y através de u=y/x, temos
\frac{y}{x} -2\ln\Bigl\lvert\frac{y}{x}+1\Bigr\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.
Reescrevendo os logaritmos e agrupando C num só lado, obtemos a forma implícita
\frac{y}{x}+\ln\!\Bigl\lvert x\Bigr\rvert -2\ln\!\Bigl\lvert y+x\Bigr\rvert =C.
Para determinar C, usamos a condição y(1)=-2:
\frac{-2}{1}+\ln|1|-2\ln|{-2+1}|=C \;\Longrightarrow\; -2+0-2\ln1=C \;\Longrightarrow\;C=-2.
Então a solução particular fica
\frac{y}{x}+\ln|x|-2\ln|y+x|=-2.
Podemos reorganizar em uma forma mais compacta. Exponenciando convenientemente, chega-se a
e^{2}\,x\,e^{\frac{y}{x}} =(y+x)^{2}.

Resposta

A solução do PVI, em forma implícita, é
e^{2}\,x\,e^{\frac{y}{x}} =(y+x)^{2},
que satisfaz \,y(1)=-2.

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