Questão (2,5 pontos): Resolva a edo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não linear
Este tipo de equação é uma Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
com
. Para resolver vamos transformar em uma equação linear por meio da substituição apropriada.
Passo 2
Primeiro isolamos
. Dividindo tudo por
, obtemos
Isso mostra que
,
e
.
Passo 3
Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
logo
. Diferenciando,
Agora dividimos a equação original por
e multiplicamos por
:
que em termos de
vira
Esta é uma equação linear em
.
Passo 4
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando tudo por
obtemos
Integrando ambos os lados,
ou seja
Passo 5
Voltando a
pela relação
, temos
Além disso há a solução singular
, que satisfaz trivialmente a equação original.
Resposta
A solução geral (para
) é
onde
é constante arbitrária.