1^{\mathrm{a}} Questão (2,5 pontos): Resolva a edo: x \frac{d y}{d x}-(x+1) y=y^{2} ; x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não linear
x\frac{d y}{d x} \;-\;(x+1)\,y \;=\;y^{2},\quad x>0.
Este tipo de equação é uma Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com n=2. Para resolver vamos transformar em uma equação linear por meio da substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro isolamos \tfrac{d y}{d x}. Dividindo tudo por x, obtemos
\frac{d y}{d x}-\Bigl(1+\frac1x\Bigr)y=\frac{y^{2}}{x}.
Isso mostra que P(x)=-\bigl(1+\tfrac1x\bigr), Q(x)=\tfrac1x e n=2.

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
u=y^{1-n}=y^{-1},
logo \displaystyle u=\frac1y. Diferenciando,
\frac{d u}{d x}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{d y}{d x}.
Agora dividimos a equação original por y^2 e multiplicamos por -1:
-\frac{1}{y^{2}}\frac{d y}{d x}+\Bigl(1+\frac1x\Bigr)\frac1y=-\frac1x,
que em termos de u vira
\frac{d u}{d x}+\Bigl(1+\frac1x\Bigr)u = -\frac1x.
Esta é uma equação linear em u.

Passo 4

Para resolver
\frac{d u}{d x}+\Bigl(1+\frac1x\Bigr)u = -\frac1x
calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1x\bigr)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(x+\ln x\bigr)=x\,e^{x}.
Multiplicando tudo por \mu(x) obtemos
\frac{d}{d x}\bigl(u\,x\,e^{x}\bigr)=-e^{x}.
Integrando ambos os lados,
u\,x\,e^{x} = -\int e^{x}dx + C = -e^{x}+C,
ou seja
u = \frac{C - e^{x}}{x\,e^{x}} = \frac{C\,e^{-x}}{x} \;-\;\frac1x.

Passo 5

Voltando a y pela relação u=1/y, temos
\frac1y = \frac{C\,e^{-x}-1}{x} \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\frac{x}{C\,e^{-x}-1}.
Além disso há a solução singular y\equiv0, que satisfaz trivialmente a equação original.

Resposta

A solução geral (para x>0) é
y(x)=0 \quad\text{ou}\quad y(x)=\frac{x}{C\,e^{-x}-1},
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados