Exercício 2. Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função f\) não for diferenciável. Considere a função
\[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\] e \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) e verifique que f não é diferenciável em (0,0).
(b) Sejam (a, b) \neq(0,0) e \gamma(t)=(a t, b t), uma curva parametrizada. Mostre que g(t)=(f \circ \gamma)(t) é diferenciável.
(c) Conclua mostrando que (f \circ \gamma)^{\prime}(0) \neq \nabla f(0,0) \cdot \gamma^{\prime}(0).
e pede:
– (a) as derivadas parciais em (0,0) e verificar que f não é diferenciável aí;
– (b) para a reta \gamma(t)=(a t,b t) com (a,b)\neq(0,0), mostrar que g(t)=f(\gamma(t)) é diferenciável;
– (c) concluir que (f\circ\gamma)'(0)\neq\nabla f(0,0)\cdot\gamma'(0).
Vamos usar definição de derivada parcial, de diferenciabilidade e calcular a composição com reta.]
Passo 2
Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição:
mostrando que a regra da cadeia padrão falha em (0,0).
Resposta
(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, e f não é diferenciável em (0,0).
(b) g(t)=\dfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\,t, logo g é diferenciável.
(c) (f\circ\gamma)'(0)=\dfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\neq0=\nabla f(0,0)\cdot\gamma'(0).
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Assim, a regra da cadeia não vale neste ponto.