Exercício 2. Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função f\) não for diferenciável. Considere a função \[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\] e \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) e verifique que f não é diferenciável em (0,0).
(b) Sejam (a, b) \neq(0,0) e \gamma(t)=(a t, b t), uma curva parametrizada. Mostre que g(t)=(f \circ \gamma)(t) é diferenciável.
(c) Conclua mostrando que (f \circ \gamma)^{\prime}(0) \neq \nabla f(0,0) \cdot \gamma^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
– (a) as derivadas parciais em (0,0) e verificar que f não é diferenciável aí;
– (b) para a reta \gamma(t)=(a t,b t) com (a,b)\neq(0,0), mostrar que g(t)=f(\gamma(t)) é diferenciável;
– (c) concluir que (f\circ\gamma)'(0)\neq\nabla f(0,0)\cdot\gamma'(0).
Vamos usar definição de derivada parcial, de diferenciabilidade e calcular a composição com reta.]

Passo 2

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h} =0.
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k} =0.
Logo \nabla f(0,0)=(0,0).

Passo 3

Para ver que f não é diferenciável em (0,0), basta mostrar que o erro
E(h,k) = \frac{f(h,k)-\bigl(0\cdot h+0\cdot k\bigr)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}
não tende a zero. Tomando h=k=t\neq0:
f(t,t) =\frac{t\;t^{2}}{t^{2}+t^{2}} =\frac{t^{3}}{2t^{2}} =\frac{t}{2},
então
E(t,t) =\frac{t/2}{\sqrt{2}\,\lvert t\rvert} =\frac{1}{2\sqrt{2}}\neq0 \quad\text{(quando \(t\to0\)).}
Logo E(t,t)\not\to0 e f não é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Agora considere \gamma(t)=(a t,b t) com (a,b)\neq(0,0). Para t\neq0:
g(t)=f(a t,b t) =\frac{(a t)(b t)^{2}}{(a t)^{2}+(b t)^{2}} =\frac{a\,b^{2}\,t^{3}}{(a^{2}+b^{2})\,t^{2}} =\frac{a\,b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\;t.
Define-se g(0)=f(0,0)=0. Isso mostra que g(t) é função linear em t, logo diferenciável em t=0.

Passo 5

Do trecho acima temos
g'(0) =\frac{a\,b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Por outro lado \nabla f(0,0)=(0,0) e \gamma'(0)=(a,b), então
\nabla f(0,0)\cdot\gamma'(0) =0\cdot a + 0\cdot b =0.
Para b\neq0 (ou, de modo geral, sempre que a b^{2}\neq0) temos
g'(0)=\frac{a\,b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\neq0 =\nabla f(0,0)\cdot\gamma'(0),
mostrando que a regra da cadeia padrão falha em (0,0).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, e f não é diferenciável em (0,0).
(b) g(t)=\dfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\,t, logo g é diferenciável.
(c) (f\circ\gamma)'(0)=\dfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\neq0=\nabla f(0,0)\cdot\gamma'(0).
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Assim, a regra da cadeia não vale neste ponto.

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