Engenheiros ambientais estão avaliando o crescimento de diferentes subespécies de eucalipto (Eucalyptus globulus) em uma área de reflorestamento destinada à recuperação de solo degradado. O acompanhamento da altura das árvores é
fundamental para verificar taxa de crescimento, competitividade entre subespécies e eficiência da recuperação ambiental. Os dados a seguir são referentes à altura de subespécies do eucalipto E. globulus, considerando altura em metros.
bicostata 30 55 43 40 51 32 35
globulus 50 42 40 40 45 46 41
a) Calcule a amplitude para a subespécie bicostata.
b) Calcule a média, a mediana, a moda da subespécie globulus.
c) Calcule a variância das alturas das duas subespécies.
d) Qual subespécie possui menor coeficiente de variação?

Passo 1

O enunciado fornece alturas (em metros) de duas subespécies de eucalipto e pede quatro coisas:
  • a) Calcular a amplitude da subespécie bicostata.
  • b) Calcular a média, a mediana e a moda da subespécie globulus.
  • c) Calcular a variância das alturas das duas subespécies.
  • d) Determinar qual subespécie tem menor coeficiente de variação.
Dados fornecidos (vou repetir para ficar claro):
\text{bicostata: } 30,\;55,\;43,\;40,\;51,\;32,\;35
\text{globulus: } 50,\;42,\;40,\;40,\;45,\;46,\;41

Passo 2

(a) Definição e cálculo da amplitude (range).
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Em símbolos:
\text{amplitude}=\max\{x_i\}-\min\{x_i\}.
Para bicostata os valores mínimo e máximo são, observando a lista, \min=30 e \max=55. Portanto
\text{amplitude}_{\text{bicostata}} = 55-30=25.

Passo 3

(b) Cálculo da média da subespécie globulus.
Definição: a média aritmética de n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações.
Para globulus temos n=7. Primeiro somamos os valores:
50+42+40+40+45+46+41 = 304.
Então a média é
\bar{x}_{\text{globulus}}=\frac{304}{7}.
Em forma decimal isso é
\bar{x}_{\text{globulus}}=\frac{304}{7}\approx 43,428571\ldots
(é uma dízima periódica 43,\overline{428571}). Vou manter tanto a fração quanto a aproximação.

Passo 4

(b) Cálculo da mediana da subespécie globulus.
Definição: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para n ímpar, a mediana é o elemento de posição (n+1)/2.
Ordenando os dados de globulus:
40,\;40,\;41,\;42,\;45,\;46,\;50.
Como n=7, a posição central é (7+1)/2=4. O quarto valor na lista ordenada é 42. Logo
\text{mediana}_{\text{globulus}}=42.

Passo 5

(b) Cálculo da moda da subespécie globulus.
Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência. Observando os dados ordenados
40,\;40,\;41,\;42,\;45,\;46,\;50,
o valor 40 ocorre duas vezes e os demais ocorrem uma vez. Portanto a moda é
\text{moda}_{\text{globulus}}=40.

Passo 6

(c) Explicação sobre variância e escolha do método.
A variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Existem duas versões comuns:
  • Variância populacional: \sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
  • Variância amostral (estimador não-viciado): s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Como temos amostras de árvores (provavelmente um conjunto de observações de um maior conjunto possível), vou usar a variância amostral s^2 com denominador n-1. A forma prática (computacional) equivalente é
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2,
logo
s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\Biggr).
Aqui x_i são as observações, \bar{x} é a média da amostra e n é o tamanho da amostra.

Passo 7

(c) Cálculo da variância para bicostata passo a passo.
Dados bicostata: 30,55,43,40,51,32,35. Já vimos n=7. Calculei antes a soma dos valores para obter a média; aqui vamos calcular \sum x_i^2 e \bar{x}.
Soma dos valores:
30+55+43+40+51+32+35 = 286.
Logo a média é
\bar{x}_{\text{bicostata}}=\frac{286}{7}= \frac{286}{7}\approx 40,857142\ldots
Agora a soma dos quadrados (cada valor ao quadrado):
30^2+55^2+43^2+40^2+51^2+32^2+35^2 = 900+3025+1849+1600+2601+1024+1225=12224.
Aplicando a fórmula computacional:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 12224 - 7\Bigl(\frac{286}{7}\Bigr)^2.
Note que 7\bigl(\frac{286}{7}\bigr)^2 = \frac{1}{7}\cdot 286^2. Calculando:
286^2=81796,\quad \text{logo } n\bar{x}^2=\frac{81796}{7}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{85568}{7}-\frac{81796}{7}=\frac{3772}{7}\approx 538,857142\ldots
Agora a variância amostral:
s^2_{\text{bicostata}}=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{6}\cdot\frac{3772}{7}=\frac{3772}{42}=\frac{1886}{21}\approx 89,8095238\ldots
Para referência, o desvio padrão amostral é
s_{\text{bicostata}}=\sqrt{s^2_{\text{bicostata}}=\frac{1886}{21}}\approx 9,478.

Passo 8

(c) Cálculo da variância para globulus passo a passo.
Dados globulus: 50,42,40,40,45,46,41. Já usamos n=7 e calculamos a soma dos valores =\!304, então a média é
\bar{x}_{\text{globulus}}=\frac{304}{7}\approx 43,428571\ldots
Soma dos quadrados:
50^2+42^2+40^2+40^2+45^2+46^2+41^2 = 2500+1764+1600+1600+2025+2116+1681=13286.
Aplicando a fórmula:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 13286 - 7\Bigl(\frac{304}{7}\Bigr)^2 = 13286 - \frac{304^2}{7}.
Note que 304^2=92416, então
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{93002}{7}-\frac{92416}{7}=\frac{586}{7}\approx 83,7142857\ldots
Portanto a variância amostral é
s^2_{\text{globulus}}=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{6}\cdot\frac{586}{7}=\frac{586}{42}=\frac{293}{21}\approx 13,95238095\ldots
O desvio padrão amostral é
s_{\text{globulus}}=\sqrt{s^2_{\text{globulus}}=\frac{293}{21}}\approx 3,735.

Passo 9

(d) Coeficiente de variação e comparação.
Definição: o coeficiente de variação (CV) é a razão entre o desvio padrão e a média, frequentemente expressa em porcentagem:
\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Calculamos previamente médias e desvios padrão amostrais. Agora os CVs:
Para bicostata:
\text{CV}_{\text{bicostata}}=\frac{s_{\text{bicostata}}}{\bar{x}_{\text{bicostata}}}\times100\% =\frac{\sqrt{\frac{1886}{21}}}{\frac{286}{7}}\times100\%\approx\frac{9,478}{40,857142}\times100\%\approx 23,20\%.
Para globulus:
\text{CV}_{\text{globulus}}=\frac{s_{\text{globulus}}}{\bar{x}_{\text{globulus}}}\times100\% =\frac{\sqrt{\frac{293}{21}}}{\frac{304}{7}}\times100\%\approx\frac{3,735}{43,428571}\times100\%\approx 8,60\%.
Comparando, 8{,}60\% < 23{,}20\%, logo a subespécie com menor coeficiente de variação (menor variabilidade relativa) é a subespécie \text{globulus}.

Resposta

a) 25
b) \text{média}_{\text{globulus}}=\dfrac{304}{7}\approx 43,428571é, \text{mediana}_{\text{globulus}}=42, \text{moda}_{\text{globulus}}=40
c) \,s^2_{\text{bicostata}}=\dfrac{1886}{21}\approx 89,8095238
\,s^2_{\text{globulus}}=\dfrac{293}{21}\approx 13,95238095
d) \text{Menor CV: globulus (CV}_{\text{bicostata}}\approx 23{,}20\%\;,\;\text{CV}_{\text{globulus}}\approx 8{,}60\% )

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