Uma engrenagem de 20 cm de raio está conectada a uma engrenagem maior de 50 cm de raio, que por sua vez está ligada a uma terceira engranagem com 25 cm de raio. Se a velocidade angular da primeira é de 5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} qual a velocidade angular da terceira engrenagem? Qual o período de uma rotação dela? Se a primeira roda no sentido horário, em que sentido irá rodar a terceira?

Passo 1

O enunciado descreve um trem de engrenagens composto por três rodas:
– Roda 1 de raio r_1 = 20,cm e velocidade angular \omega_1 = 5\,\mathrm{rad/s}.
– Roda 2 de raio r_2 = 50,cm acoplada à roda 1.
– Roda 3 de raio r_3 = 25,cm acoplada à roda 2.
Conteúdo: transmissão de velocidade em engrenagens através da igualdade de velocidade linear na linha de contato e inversão de sentido a cada engrenamento.

Passo 2

Na união entre roda 1 e roda 2, a velocidade linear dos dentes coincide:
v = \omega_1\,r_1 = \omega_2\,r_2.
Isolando \omega_2,
\omega_2 = \omega_1\frac{r_1}{r_2} = 5\,\mathrm{rad/s}\times\frac{20}{50} = 2\,\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Na união entre roda 2 e roda 3, novamente igualamos as velocidades lineares:
\omega_2\,r_2 = \omega_3\,r_3.
Logo
\omega_3 = \omega_2\frac{r_2}{r_3} = 2\,\mathrm{rad/s}\times\frac{50}{25} = 4\,\mathrm{rad/s}.

Passo 4

O período T de uma rotação completa da roda 3 satisfaz
T = \frac{2\pi}{\omega_3} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\,\mathrm{s}.

Passo 5

Cada engrenamento inverte o sentido de rotação. Como há dois engrenamentos ( 1\to 2 e 2\to 3), a roda 3 gira no mesmo sentido da roda 1. Se a roda 1 é no sentido horário, a roda 3 também será no sentido horário.

Resposta

\omega_3 = 4\,\mathrm{rad/s} T = \tfrac{\pi}{2}\,\mathrm{s}
Sentido de rotação da roda 3: horário.

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