Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Temos a série de potências sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!. O conteúdo é séries de potências: queremos achar o raio e o intervalo de convergência; vamos usar o critério da razão.

Passo 2

Identificamos o termo geral an = (-1)^nx^2n+1(2n+1)!. Pelo critério da razão calculamos limntoinfty|an+1an|.

Passo 3

Calculando o quociente temos
|an+1an| = |(-1)^n+1x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^nx^2n+1(2n+1)!| = |x|^2n+3(2n+3)!cdot(2n+1)!|x|^2n+1 = x^2(2n+3)(2n+2)
Tomando o limite quando ntoinfty
limntoinftyx^2(2n+3)(2n+2) = 0

Passo 4

Como o limite é 0 para todo valor de x, a condição do critério da razão lim<1 se satisfaz independentemente de x. Isso significa que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .

Resposta

R = ∞ e intervalo de convergência (−∞, ∞).

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