Entre pessoas sofrendo de uma certa doença, a concentração de certa substância no sangue se comporta segundo um modelo Normal com média 25 unidades / \mathrm{ml} e desvio padrão de 6 unidades / \mathrm{ml}.
Desejamos averiguar se um certo tratamento, proposto para combater a doença, é eficaz. Espera-se que a concentração dessa substância diminua após o tratamento.
Uma amostra aleatória de tamanho n=30 é selecionada entre indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento, fornecendo uma concentração média de 16,04 unidades / \mathrm{ml}.
  • O que podemos afirmar ao nível de 5 \% de significância?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que podemos afirmar ao nível de 5\% de significância:

\bullet Concentração na população de doentes (antes do tratamento) tem média \mu_0=25 unidades / \mathrm{ml} e desvio padrão \sigma=6 unidades / \mathrm{ml}.
\bullet Modelo assumido: distribuição Normal (isso é importante porque permite usar testes baseados na Normal).
\bullet Amostra de tamanho n=30 de indivíduos tratados, com média amostral \bar X=16{,}04 unidades / \mathrm{ml}.
\bullet Objetivo: verificar se o tratamento reduz a concentração (espera-se diminuição).
\bullet Nível de significância: \alpha=5\%=0{,}05.

O que precisamos decidir: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que a média permaneceu 25 ao nível de 5\%? Ou seja, há evidência de que a média diminuiu?

Passo 2

Formulamos as hipóteses (atenção: alternativa “diminui” significa teste unilateral à esquerda):
H_0:\\ \mu=25
H_1:\\ \mu<25
Explicando: \mu é a média verdadeira da concentração após o tratamento. H_0 diz que o tratamento não mudou a média (continua 25); H_1 diz que a média ficou menor que 25.

Passo 3

Escolha do teste e fórmula do estatístico. Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido ( 6) e a população é Normal, usamos o teste z para a média. O estatístico é
Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
\bar X = média amostral (aqui 16{,}04),
\mu_0 = média sob H_0 (aqui 25),
\sigma = desvio padrão populacional (aqui 6),
n = tamanho da amostra (aqui 30).
Sob H_0, Z tem distribuição aproximadamente padrão Normal \mathcal{N}(0,1).

Passo 4

Calcular o erro padrão (denominador do Z):
\sigma/\sqrt{n}=\frac{6}{\sqrt{30}}.
Calculando \sqrt{30}\approx 5{,}4772256, então
\frac{6}{\sqrt{30}}\approx 1{,}095445.

Passo 5

Calcular o valor do estatístico Z substituindo os números:
Z=\frac{16{,}04-25}{1{,}095445}=\frac{-8{,}96}{1{,}095445}\approx -8{,}18.
Interpretação numérica: o valor observado da média está 8{,}18 desvios-padrão abaixo do valor hipotético 25. Isso é extremamente distante da média sob H_0.

Passo 6

Regra de decisão para teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05: rejeitar H_0 se
Z\le z_{0{,}05},
onde z_{0{,}05}=\Phi^{-1}(0{,}05)\approx -1{,}645 (quantil da Normal padrão). Nosso Z\approx -8{,}18 é muito menor que -1{,}645, portanto caímos na região de rejeição.

Passo 7

Cálculo do p‑valor (para completar a interpretação): p‑valor =P(Z\le -8{,}18) com Z\sim\mathcal{N}(0,1). Esse valor é praticamente zero; numericamente é menor que 10^{-16}. Como o p‑valor é muito menor que \alpha=0{,}05, reforça a rejeição de H_0.

Passo 8

Conclusão e interpretação prática (linguagem amigável): os dados fornecem evidência estatística forte de que a média da concentração após o tratamento é menor que 25. Ou seja, ao nível de 5\% podemos afirmar que o tratamento é eficaz em reduzir a concentração da substância, segundo essa amostra. Parabéns — esse resultado é muito convincente estatisticamente!

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência significativa ao nível de 5\% de que a concentração diminuiu ( Z\approx -8{,}18, p<10^{-16}).

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