Entre pessoas sofrendo de uma certa doença, a concentração de certa substância no sangue se comporta segundo um modelo Normal com média 25 unidades
e desvio padrão de 6 unidades
.
Desejamos averiguar se um certo tratamento, proposto para combater a doença, é eficaz. Espera-se que a concentração dessa substância diminua após o tratamento.
Uma amostra aleatória de tamanho
é selecionada entre indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento, fornecendo uma concentração média de 16,04 unidades
.
- O que podemos afirmar ao nível de
de significância?
Desejamos averiguar se um certo tratamento, proposto para combater a doença, é eficaz. Espera-se que a concentração dessa substância diminua após o tratamento.
Uma amostra aleatória de tamanho
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que podemos afirmar ao nível de
de significância:
Concentração na população de doentes (antes do tratamento) tem média
unidades
e desvio padrão
unidades
.
Modelo assumido: distribuição Normal (isso é importante porque permite usar testes baseados na Normal).
Amostra de tamanho
de indivíduos tratados, com média amostral
unidades
.
Objetivo: verificar se o tratamento reduz a concentração (espera-se diminuição).
Nível de significância:
.
O que precisamos decidir: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que a média permaneceu ao nível de
? Ou seja, há evidência de que a média diminuiu?
O que precisamos decidir: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que a média permaneceu
Passo 2
Formulamos as hipóteses (atenção: alternativa “diminui” significa teste unilateral à esquerda):
Explicando:
é a média verdadeira da concentração após o tratamento.
diz que o tratamento não mudou a média (continua
);
diz que a média ficou menor que
.
Passo 3
Escolha do teste e fórmula do estatístico. Como o desvio padrão populacional
é conhecido (
) e a população é Normal, usamos o teste z para a média. O estatístico é
onde:
= média amostral (aqui
),
= média sob
(aqui
),
= desvio padrão populacional (aqui
),
= tamanho da amostra (aqui
).
Sob ,
tem distribuição aproximadamente padrão Normal
.
Sob
Passo 4
Calcular o erro padrão (denominador do
):
Calculando
, então
Passo 5
Calcular o valor do estatístico
substituindo os números:
Interpretação numérica: o valor observado da média está
desvios-padrão abaixo do valor hipotético
. Isso é extremamente distante da média sob
.
Passo 6
Regra de decisão para teste unilateral à esquerda com
: rejeitar
se
onde
(quantil da Normal padrão). Nosso
é muito menor que
, portanto caímos na região de rejeição.
Passo 7
Cálculo do p‑valor (para completar a interpretação): p‑valor
com
. Esse valor é praticamente zero; numericamente é menor que
. Como o p‑valor é muito menor que
, reforça a rejeição de
.
Passo 8
Conclusão e interpretação prática (linguagem amigável): os dados fornecem evidência estatística forte de que a média da concentração após o tratamento é menor que
. Ou seja, ao nível de
podemos afirmar que o tratamento é eficaz em reduzir a concentração da substância, segundo essa amostra. Parabéns — esse resultado é muito convincente estatisticamente!
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência significativa ao nível de
de que a concentração diminuiu (
,
).