\frac{3\left(2-x^{2}\right)^{1 / 3}-(x+2)(-2 x)\left(2-x^{2}\right)^{-2 / 3}}{\left(2-x^{2}\right)^{2 / 3}}=
A \left(6-4 x-3 x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
B \left(6+4 x-x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
C] \left(8+x-3 x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
D \left(4-x-3 x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
(E) N.R.A.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{3\left(2-x^{2}\right)^{1/3}-(x+2)(-2x)\left(2-x^{2}\right)^{-2/3}}{\left(2-x^{2}\right)^{2/3}}
e escolher a alternativa correta entre:
A \left(6-4 x-3 x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
B \left(6+4 x-x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
C \left(8+x-3 x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
D \left(4-x-3 x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}
(E) N.R.A.
As informações dadas são exatamente os termos com potências de \left(2-x^{2}\right) nos numerador e denominador; o objetivo é simplificar usando regras de potências e álgebra.

Passo 2

Primeiro trate o produto (x+2)(-2x) no numerador e o sinal antes dele. Calculando:
(x+2)(-2x)=-2x(x+2)=-2x^{2}-4x.
Agora note que no numerador há um menos multiplicando esse produto:
3\left(2-x^{2}\right)^{1/3}-(x+2)(-2x)\left(2-x^{2}\right)^{-2/3} =3\left(2-x^{2}\right)^{1/3}-\bigl(-2x^{2}-4x\bigr)\left(2-x^{2}\right)^{-2/3}.
O sinal duplo negativo vira positivo, portanto o numerador fica
3\left(2-x^{2}\right)^{1/3}+2x(x+2)\left(2-x^{2}\right)^{-2/3}.

Passo 3

Vamos fatorar um fator comum de potência de \left(2-x^{2}\right) no numerador. Use a propriedade de potências
a^{m}a^{n}=a^{m+n}.
Repare que
\left(2-x^{2}\right)^{1/3}=\left(2-x^{2}\right)^{1}\left(2-x^{2}\right)^{-2/3},
pois 1+(-2/3)=1/3. Assim podemos escrever o numerador como
\left(2-x^{2}\right)^{-2/3}\Bigl[\,3(2-x^{2})+2x(x+2)\Bigr].

Passo 4

Substituindo essa fatoração na fração original e simplificando com o denominador \left(2-x^{2}\right)^{2/3}, temos
\frac{\left(2-x^{2}\right)^{-2/3}\Bigl[\,3(2-x^{2})+2x(x+2)\Bigr]}{\left(2-x^{2}\right)^{2/3}}.
Ao dividir potências com mesma base subtrai-se os expoentes:
\left(2-x^{2}\right)^{-2/3}\big/ \left(2-x^{2}\right)^{2/3}=\left(2-x^{2}\right)^{-2/3-2/3}=\left(2-x^{2}\right)^{-4/3}.
Portanto a expressão fica
\Bigl[\,3(2-x^{2})+2x(x+2)\Bigr]\left(2-x^{2}\right)^{-4/3}.

Passo 5

Agora simplifique o polinômio dentro dos colchetes:
3(2-x^{2})+2x(x+2)=6-3x^{2}+2x^{2}+4x.
Somando os termos semelhantes:
6-3x^{2}+2x^{2}+4x=6+4x-x^{2}.
Logo a expressão simplificada é
\left(6+4x-x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4/3}.

Passo 6

Compare com as alternativas: o resultado coincide exatamente com a alternativa B.

Resposta

B \left(6+4 x-x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)^{-4 / 3}

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