Se f: R R e lim x 3 f(x)=5 então é CERTAMENTE verdade que:
exists h>0 tal que 0<|x-3| <= h implica 4<f(x)<6

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR e limxto3f(x)=5. O conteúdo aqui é a definição varepsilon de<a de limite: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|x-3|<de<aLongrightarrow|f(x)-5|<varepsilon
Queremos mostrar que existe h>0 tal que
0<|x-3|<= hLongrightarrow 4<f(x)<6

Passo 2

Aplicamos a definição de limite com varepsilon=1. Pela hipótese limxto3f(x)=5, existe de<a>0 tal que
0<|x-3|<de<aLongrightarrow |f(x)-5|<1
A desigualdade |f(x)-5|<1 equivale a
4<f(x)<6

Passo 3

Para conseguir a forma “ <= h”, basta escolher h>0 menor que de<a. Por exemplo, defina
h = de<a2
Então h>0 e, se 0<|x-3|<= h, temos
|x-3|<= h = de<a2<de<a
logo 0<|x-3|<de<a, e assim 4<f(x)<6.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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