Se f: R R e lim x 3 f(x)=5 então é CERTAMENTE verdade que:
forall k>0, vale que 0<|x-3|<1 implica |f(x)-5|<k

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos f:RtoR com
limxto3f(x)=5
Pela definição de limite, isso significa que para cada epsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|x-3|<de<aLongrightarrow|f(x)-5|<epsilon
A afirmação dada diz que, para todo k>0, basta tomar de<a=1 para garantir
0<|x-3|<1Longrightarrow|f(x)-5|<k

Passo 2

Na definição de limxto3f(x)=5, o valor de de<a pode (e em geral deve) depender de epsilon. Não há garantia de que um mesmo de<a (por exemplo de<a=1) funcione para todos os epsilon.
Se a afirmação fosse verdadeira, teríamos de<a(k)=1 funcionando para todo k. Mas para limites, tipicamente de<a é escolhido menor ou igual a alguma função de epsilon, podendo ser de<a<1.

Passo 3

Contraexemplo concreto: defina
f(x)= 5, & se |x-3|<0,2, 5+dfrac1,|x-3|-0,2,, & se 0<|x-3|<1
Para qualquer epsilon>0 basta escolher de<a<0,2 (por exemplo de<a=minepsilon,0,2) para ter |f(x)-5|<epsilon sempre que 0<|x-3|<de<a. Assim limxto3f(x)=5.
Porém, se insistirmos em usar de<a=1, ao tomar x=3,5 temos
|f(3,5)-5| =10,5-0,2 =10,3approx3,33,
e isso viola |f(x)-5|<k para qualquer k<3,33.

Passo 4

Logo não se pode fixar de<a=1 para todo k>0: a escolha de de<a depende de k (ou epsilon).

Resposta

A afirmação é falsa.

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