Se então é CERTAMENTE verdade que: , vale que implica
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos com
Pela definição de limite, isso significa que para cada existe tal que
A afirmação dada diz que, para todo , basta tomar para garantir
Passo 2
Na definição de , o valor de pode (e em geral deve) depender de . Não há garantia de que um mesmo (por exemplo ) funcione para todos os .
Se a afirmação fosse verdadeira, teríamos funcionando para todo . Mas para limites, tipicamente é escolhido menor ou igual a alguma função de , podendo ser .
Passo 3
Contraexemplo concreto: defina
Para qualquer epsilon>0 basta escolher de<a<0,2 (por exemplo de<a=minepsilon,0,2) para ter |f(x)-5|<epsilon sempre que 0<|x-3|<de<a. Assim limxto3f(x)=5.
Porém, se insistirmos em usar de<a=1, ao tomar x=3,5 temos
|f(3,5)-5| =10,5-0,2 =10,3approx3,33,
e isso viola |f(x)-5|<k para qualquer k<3,33.
Passo 4
Logo não se pode fixar de<a=1 para todo k>0: a escolha de de<a depende de k (ou epsilon).