Se f: R R e lim x 3 f(x)=5 então é CERTAMENTE verdade que:
forall k>0, exists h>0 tal que |x-3| <= h implica 5-k<f(x)<5+k

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função fcolon RtoR e que
limxto3f(x)=5
Queremos saber se disso decorre necessariamente que
forall k>0,;exists h>0;tal que;|x-3|<= himplies 5-k<f(x)<5+k
O conteúdo aqui é a definição de limite e a diferença entre a condição usual 0<|x-3|<de<a e a condição |x-3|<= h.

Passo 2

Relembrando a definição: dizer limxto3f(x)=5 significa
forall varepsilon>0,;exists de<a>0;tal que;0<|x-3|<de<aimplies |f(x)-5|<varepsilon
Note que a implicação exige xneq3. Ou seja, não há nenhuma informação sobre f(3). Já a afirmação proposta usa |x-3|<= h, que inclui x=3. Para garantir 5-k<f(x)<5+k também em x=3 seria preciso controlar o valor de f(3), mas a definição de limite não faz isso.

Passo 3

Basta um contraexemplo. Defina
f(x)= 5, & xneq3, 100,& x=3
Então, se xneq3 e |x-3|<de<a, temos f(x)=5 e |f(x)-5|=0<varepsilon, logo limxto3f(x)=5.
Porém, escolha k=1. Para qualquer h>0, o ponto x=3 satisfaz |3-3|<= h, mas f(3)=100notin(4,6). Portanto não existe h que imponha 5-k<f(x)<5+k para todos x com |x-3|<= h.

Resposta

A afirmação é falsa.

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