Se então é CERTAMENTE verdade que: tal que implica
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função e que
Queremos saber se disso decorre necessariamente que
O conteúdo aqui é a definição de limite e a diferença entre a condição usual e a condição .
Passo 2
Relembrando a definição: dizer significa
Note que a implicação exige . Ou seja, não há nenhuma informação sobre . Já a afirmação proposta usa , que inclui . Para garantir também em seria preciso controlar o valor de , mas a definição de limite não faz isso.
Passo 3
Basta um contraexemplo. Defina
Então, se xneq3 e |x-3|<de<a, temos f(x)=5 e |f(x)-5|=0<varepsilon, logo limxto3f(x)=5.
Porém, escolha k=1. Para qualquer h>0, o ponto x=3 satisfaz |3-3|<= h, mas f(3)=100notin(4,6). Portanto não existe h que imponha 5-k<f(x)<5+k para todos x com |x-3|<= h.