Questão 2 (valor: 2, 0). Determine a paridade de cada função abaixo. Nos casos em que a função não se enquadre nem como par e nem como ímpar, escreva-a como uma soma y=y-+y+onde y+é uma função par e y - é uma função impar.
cos (x)+e^sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se a função y = cos(x) + e^sin(2x) é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e ver como aplicar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições:
  • Função par: f(-x) = f(x) para todo x. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Função ímpar: f(-x) = -f(x) para todo x. O gráfico é simétrico em relação à origem.
Se a função não cumprir nenhuma dessas condições, então ela não é nem par nem ímpar.

Passo 3

Vamos calcular y(-x) e comparar com y(x):
y(-x) = cos(-x) + e^sin(2(-x)) = cos(x) + e^sin(-2x)
Sabemos que cos(-x) = cos(x) porque o cosseno é uma função par, e sin(-2x) = -sin(2x) porque o seno é uma função ímpar. Então:
y(-x) = cos(x) + e^-sin(2x)
Agora, vamos ver se y(-x) é igual a y(x) ou a -y(x).
Comparando:
y(x) = cos(x) + e^sin(2x)
y(-x) = cos(x) + e^-sin(2x)
Claramente, y(-x) neq y(x) e y(-x) neq -y(x), então a função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Como a função não é nem par nem ímpar, vamos escrevê-la como a soma de uma função par ( y+) e uma função ímpar ( y-).
As fórmulas para isso são:
y+(x) = y(x) + y(-x)2
y-(x) = y(x) - y(-x)2
Vamos calcular cada uma:
Para y+(x):
y+(x) = cos(x) + e^sin(2x) + cos(x) + e^-sin(2x) 2
Simplificando:
y+(x) = cos(x) + e^sin(2x) + e^-sin(2x) 2
Para y-(x):
y-(x) = cos(x) + e^sin(2x) - cos(x) - e^-sin(2x) 2
Simplificando:
y-(x) = e^sin(2x) - e^-sin(2x) 2

Resposta

A função y = cos(x) + e^sin(2x) pode ser expressa como a soma de uma função par e uma função ímpar da seguinte forma:
y = y+ + y-
onde
y+(x) = cos(x) + e^sin(2x) + e^-sin(2x)2
e
y-(x) = e^sin(2x) - e^-sin(2x)2

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