Questão 2 (valor: 2, 0). Determine a paridade de cada função abaixo. Nos casos em que a função não se enquadre nem como par e nem como ímpar, escreva-a como uma soma
onde
é uma função par e
- é uma função impar.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e ver como aplicar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições:
- Função par:
para todo . O gráfico é simétrico em relação ao eixo y. - Função ímpar:
para todo . O gráfico é simétrico em relação à origem.
Se a função não cumprir nenhuma dessas condições, então ela não é nem par nem ímpar.
Passo 3
Vamos calcular
e comparar com
:
Sabemos que
porque o cosseno é uma função par, e
porque o seno é uma função ímpar. Então:
Agora, vamos ver se
é igual a
ou a
.
Comparando:
Claramente,
e
, então a função não é nem par nem ímpar.
Passo 4
Como a função não é nem par nem ímpar, vamos escrevê-la como a soma de uma função par (
) e uma função ímpar (
).
As fórmulas para isso são:
Vamos calcular cada uma:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Resposta
A função
pode ser expressa como a soma de uma função par e uma função ímpar da seguinte forma:
onde
e