Dê exemplo de uma sequência an, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(c) limitada e não monótona

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência an que não seja constante, que seja limitada (isto é, exista M>0 tal que lvert anrvert<= M para todo n) e que não seja monotônica (nem crescente nem decrescente).

Passo 2

Vamos escolher a sequência
an = (-1)^n
Primeiro, note que ela é não constante, porque seus termos alternam entre -1 e 1.

Passo 3

Para ver que an é limitada, basta observar que para todo n temos
an in -1,,1,
logo
lvert anrvert <= 1
Portanto a sequência é limitada por M=1.

Passo 4

Para verificar que an não é monotônica, basta examinar dois pares consecutivos:
a1 = (-1)^1 = -1, a2 = (-1)^2 = 1,
aqui a2 > a1, mas em seguida
a3 = (-1)^3 = -1,
e aí a3 < a2. Logo não é sempre crescente nem sempre decrescente.

Resposta

Um exemplo é
an = (-1)^n,
que é não constante, limitada e não monotônica.

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