Mostre que , em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, nas coordenadas esféricas, o operador diferencial dado por xpartialpartial y - ypartialpartial x coincide com partialpartial phi. O conteúdo envolve mudança de variáveis em operadores diferenciais e o uso da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, lembramos as expressões das coordenadas cartesianas (x,y,z) em função das esféricas (r,theta,phi):
x = r,sintheta,cosphi,
y = r,sintheta,sinphi,
z = r,costheta

Passo 3

Para converter o operador partialpartial phi nas coordenadas cartesianas, aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial phi = partial xpartial phipartialpartial x + partial ypartial phipartialpartial y + partial zpartial phipartialpartial z

Passo 4

Agora, calculamos cada derivada parcial em relação a phi:
partial xpartial phi = -r,sintheta,sinphi = -y,
partial ypartial phi = r,sintheta,cosphi = x,
partial zpartial phi = 0

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do operador, obtemos:
partialpartial phi = (-y)partialpartial x + xpartialpartial y + 0 = xpartialpartial y - ypartialpartial x
Isso mostra exatamente a igualdade desejada.

Resposta

x partialpartial y - y partialpartial x = partialpartial phi

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