Mostre que
, em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, nas coordenadas esféricas, o operador diferencial dado por
coincide com
. O conteúdo envolve mudança de variáveis em operadores diferenciais e o uso da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, lembramos as expressões das coordenadas cartesianas
em função das esféricas
:
Passo 3
Para converter o operador
nas coordenadas cartesianas, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, calculamos cada derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do operador, obtemos:
Isso mostra exatamente a igualdade desejada.