a) Se L>0, então as séries sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas duas sequências de termos não-negativos an e bn tais que
limntoinftyanbn=L>0,
então as séries sumn=1^inftyan e sumn=1^inftybn convergem ou divergem simultaneamente. O conteúdo é o teste de comparação pelo limite para séries numéricas.

Passo 2

Pela definição de limite, tomando varepsilon = tfracL2>0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
l|anbn-Lr|<L2
Isso implica
L-L2<anbn<L+L2 Longrightarrow L2<anbn<3L2
Multiplicando por bn>=0, obtemos para n>= N:
L2,bn;<=;an;<=;3L2,bn

Passo 3

Aplicando o teste de comparação direta nas desigualdades acima:
  1. Se sum bn converge, então como an<= tfrac3L2,bn para n>= N, pelo critério de comparação sum an também converge.
  2. Se sum bn diverge, então como an>= tfracL2,bn para n>= N, pelo mesmo critério sum an diverge.

Passo 4

Para a recíproca (passar de sum an para sum bn), basta inverter as desigualdades: de
tfracL2<= tfracanbn segue bn<= tfrac2L,an para n>= N. Então, se sum an converge, sum bn converge; se sum an diverge, sum bn diverge.

Resposta

Fica provado que, se limntoinftytfracanbn=L>0, então sum an e sum bn convergem ou divergem juntas.

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