a) Se , então as séries e são ambas convergentes ou ambas divergentes.
Passo 1
O enunciado afirma que, dadas duas sequências de termos não-negativos e tais que
então as séries e convergem ou divergem simultaneamente. O conteúdo é o teste de comparação pelo limite para séries numéricas.
Passo 2
Pela definição de limite, tomando , existe tal que, para todo ,
Isso implica
L-L2<anbn<L+L2 Longrightarrow L2<anbn<3L2
Multiplicando por bn>=0, obtemos para n>= N:
L2,bn;<=;an;<=;3L2,bn
Passo 3
Aplicando o teste de comparação direta nas desigualdades acima:
Se sum bn converge, então como an<= tfrac3L2,bn para n>= N, pelo critério de comparação sum an também converge.
Se sum bn diverge, então como an>= tfracL2,bn para n>= N, pelo mesmo critério sum an diverge.
Passo 4
Para a recíproca (passar de sum an para sum bn), basta inverter as desigualdades: de tfracL2<= tfracanbn segue bn<= tfrac2L,an para n>= N. Então, se sum an converge, sum bn converge; se sum an diverge, sum bn diverge.
Resposta
Fica provado que, se limntoinftytfracanbn=L>0, então sum an e sum bn convergem ou divergem juntas.