( ) e B=D;
( ) Se A B sim C D, então A C sim B D e os vetores A C e B D são iguais;
( ) Se u e v são LD, então u e v tem representantes colineares;
( ) Se u=0, então os vetores u, v e w são coplanares;
( ) Se os pontos A, B e C não estão alinhados, então os vetores 0 A, 0 B e 0 C são LI;
( ) Dois segmentos orientados colineares e de mesmo comprimento são eqüipolentes;
( ) Os segmentos A A e B B são eqüipolentes;
( ) Vetores determinados por segmentos orientados eqüıpolentes são iguais;
(Resposta: V)
( ) Dois vetores LI são sempre coplanares;
( ) Três vetores LD são sempre coplanares;
( ) Três vetores LD são sempre colineares.
Passo 1
Resumindo, temos onze afirmações sobre vetores e segmentos orientados, e precisamos identificar quais são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar definições de igualdade de vetores, equipolência, dependência linear, colinearidade e coplanaridade.
Passo 2
Definição de vetores iguais e segmentos equipolentes:
Dois vetores livres AB e CD são iguais se têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo, não exigindo que A=C e B=D.
Logo a afirmação “AB=CDLeftrightarrow A=C e B=D” é falsa.
Passo 3
Propriedades de segmentos equipolentes:
Se ABsim CD (equipolentes), então AB=CD. Com isso AC = AB + BC e BD = BC + CD = BC + AB logo AC=BD. Essa afirmação é verdadeira.
Dois segmentos colineares e de mesmo comprimento podem ter sentidos opostos, então não são sempre equipolentes. Logo essa é falsa.
Segmentos AA e BB são ambos de zero comprimento e mesmo sentido (zero), portanto equipolentes. Assim é verdadeira.
Por definição, segmentos equipolentes determinam vetores iguais. Isso também é verdadeiro.
Passo 4
Dependência linear e colinearidade:
Se vec u e vec v são LD, então um é múltiplo escalar do outro, ou seja, colineares. Verdadeiro.
Se vec u=0, qualquer par de vetores (incluindo vec v e vec w) fica num mesmo plano contendo o zero, logo são sempre coplanares. Verdadeiro.
Passo 5
Afirmação sobre três vetores a partir de três pontos não alinhados:
Se A,B,C não estão alinhados, eles definem um plano. Mas os vetores 0A,0B,0C podem estar todos nesse mesmo plano caso a origem pertença a ele, gerando dependência linear. Exemplo: A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(1,1,0). Então a afirmação de que são sempre LI é falsa.
Passo 6
Coplanares e independência:
Dois vetores quaisquer definem sempre um plano (o gerado por eles), então são coplanares. Logo “dois vetores LI são sempre coplanares” é verdadeiro.
Três vetores LD têm posto <=2, portanto cabem num plano e são sempre coplanares. Verdadeiro.
Mas três vetores LD não precisam ser colineares (por exemplo, vec w=vec u+vec v com vec u,vec v LI). Logo “três vetores LD são sempre colineares” é falsa.