(1,5 entos) Calcule
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{n}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}.
Esse tipo de limite de sequência envolve n no expoente e na base, então é clássico usar a transformação em exponencial e logaritmo para facilitar.

Passo 2

Defina
a_n = \sqrt[n]{n}.
Então podemos escrever
a_n = e^{\ln(a_n)} \quad\text{e}\quad \ln(a_n) = \ln\bigl(n^{1/n}\bigr) = \frac{\ln(n)}{n}.

Passo 3

Agora calculamos
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n}.
Como \ln(n) cresce muito mais lentamente que n, segue-se (por exemplo, usando regra de L’Hôpital) que
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0.

Passo 4

Voltando ao a_n, temos \lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=0. Como a função exponencial é contínua,
\lim_{n\to+\infty}a_n = \lim_{n\to+\infty}e^{\ln(a_n)} = e^0 = 1.

Resposta

1

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