(2 pontos) Expresse a função
f(x)=\frac{x+2}{2 x^{2}-x-1}
como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x+2}{2x^{2}-x-1}
e pede para escrever isso como série de potências centrada em 0. Para isso vamos usar dois ingredientes:
  1. Decomposição em frações parciais para separar em termos do tipo \tfrac1{x-1} e \tfrac1{2x+1}.
  2. Expansão em série geométrica, pois sabemos que
\frac1{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n},\quad |u|<1,
e também
\frac1{1+v}=\sum_{n=0}^{\infty}(-v)^{n},\quad |v|<1.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1).
Então buscamos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{x+2}{(2x+1)(x-1)} =\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x-1) obtemos
x+2=A(x-1)+B(2x+1) =(A+2B)x+(-A+B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+2B=1,\\\\ -A+B=2, \end{cases}
cuja solução é B=1\] e \(A=-1. Logo
f(x) =-\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{x-1}.

Passo 3

Agora escrevemos cada termo como série geométrica em torno de x=0.
3.1 Para -1/(2x+1):
-\frac1{2x+1} =-\frac1{1+2x} =-\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}2^{n}x^{n},
válido quando |2x|<1, isto é |x|<\tfrac12.
3.2 Para 1/(x-1):
\frac1{x-1} =-\frac1{1-x} =-\sum_{n=0}^{\infty}x^{n},
válido quando |x|<1.

Passo 4

Somando as duas séries, para |x|<\tfrac12 (interseção dos raios de convergência), temos
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(-1)^{n+1}2^{n}\bigr]x^{n} \;+\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(-1)^{n+1}2^{n}-1\bigr]x^{n}.

Resposta

f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(-1)^{n+1}2^{n}-1\bigr]\,x^{n}, \qquad\text{para }|x|<\tfrac12.

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