(2 pontos) Expresse a função
como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para escrever isso como série de potências centrada em
. Para isso vamos usar dois ingredientes:
- Decomposição em frações parciais para separar em termos do tipo
e . - Expansão em série geométrica, pois sabemos que
e também
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Então buscamos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes:
cuja solução é
. Logo
Passo 3
Agora escrevemos cada termo como série geométrica em torno de
.
3.1 Para
:
válido quando
, isto é
.
3.2 Para
:
válido quando
.
Passo 4
Somando as duas séries, para
(interseção dos raios de convergência), temos