Integrais em caminhos simples
Calcule, parametrizando os caminhos:
  • i. \int z^{2} d z, onde \gamma é o segmento de 0 a 1+i.
  • ii. \int \bar{z} d z, onde \gamma éo arco da circunferência |z|=1, de 1 até i.

Passo 1

O enunciado pede duas integrais de contorno simples que vamos resolver parametrizando os caminhos. O conteúdo envolve parametrização de curvas em \mathbb{C} e cálculo de
\int_\gamma f(z)\,dz
usando z=z(t), dz=z'(t)\,dt.

Passo 2

Para a integral i. \displaystyle \int_\gamma z^2\,dz com \gamma sendo o segmento de 0 a 1+i, escolhemos a parametrização
z(t)=(1+i)\,t,\quad t\in[0,1].
Então
dz=(1+i)\,dt,
e
z^2=\bigl((1+i)t\bigr)^2=(1+i)^2\,t^2=2i\,t^2.
Logo o integrando fica
z^2\,dz=(2i\,t^2)\cdot(1+i)\,dt=(1+i)^3\,t^2\,dt.

Passo 3

Calculamos (1+i)^3:
(1+i)^2=2i,\qquad (1+i)^3=(1+i)\cdot2i=-2+2i.
Assim
\int_0^1(1+i)^3\,t^2\,dt=(-2+2i)\int_0^1t^2\,dt =(-2+2i)\cdot\frac{1}{3}=\frac{-2+2i}{3}.

Passo 4

Para a integral ii. \displaystyle \int_\gamma \overline{z}\,dz em que \gamma é o arco de circunferência \lvert z\rvert=1 de 1 a i, parametrizamos em forma polar:
z(\theta)=e^{i\theta},\quad \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Então
\overline{z}=e^{-i\theta},\qquad dz=i\,e^{i\theta}\,d\theta.
O produto é
\overline{z}\,dz=e^{-i\theta}\cdot i\,e^{i\theta}\,d\theta =i\,d\theta.

Passo 5

Integrando de \theta=0 até \theta=\pi/2,
\int_0^{\pi/2}i\,d\theta =i\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0\bigr) =\frac{i\pi}{2}.

Resposta

i. \displaystyle \frac{-2+2i}{3}
ii. \displaystyle \frac{i\pi}{2}

Exercícios relacionados