(2 pontos) Classifique cada uma das afirmações abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justifique sua resposta com rigor matemático.
Q. (F ) Se uma série \sum a_{n} é convergente, então ela é absolutamente convergente.
லூ. (F ) Se uma série de termos positivos não satisfaz o critério da razão (ou seja, o limite da razão (5) L=1 ), então ela é divergente.
0)c. ( F ) Se a_{n}=\ln (n+666)-\ln (n), então
\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=1
0
2. (F ) Se a sequência dos termos a_{n} de uma série \sum a_{n} não é monótona, então a série não pode ser convergente.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre séries e sequências como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) e justificar com rigor. Vamos usar os seguintes pontos teóricos:
  1. Definição de convergência absoluta e condicional de séries.
  2. Enunciado do critério da razão e seu caso inconclusivo L=1.
  3. Cálculo de limites de diferenças de logaritmos: \ln(n+666)-\ln(n).
  4. Importância (ou não) de monotonicidade dos termos para a convergência de séries.

Passo 2

Afirmação Q: “Se uma série \sum a_{n} é convergente, então ela é absolutamente convergente.”
Por definição, uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se \sum|a_{n}| converge. Sabe-se que
\text{absoluta convergência}\quad\Longrightarrow\quad\text{convergência},êê
mas o recíproco não vale, pois existem séries que convergem (condicionalmente) sem convergir absolutamente.
Exemplo clássico: a série alternante de Leibniz
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
converge, mas
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, que diverge. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação லூ: “Se uma série de termos positivos não satisfaz o critério da razão (ou seja, o limite da razão L=1), então ela é divergente.”
O critério da razão diz que, para uma série de termos positivos \sum a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1
então a série converge, e se L>1 diverge. Mas se L=1, o teste é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir.
Exemplos:
  • Divergente com L=1: \sum1/n tem \lim(a_{n+1}/a_n)=1.
  • Convergente com L=1: \sum1/n^2 também tem \lim(a_{n+1}/a_n)=1.
    Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação c: “Se a_{n}=\ln(n+666)-\ln(n), então \lim_{n\to+\infty}a_{n}=1.”
Reescrevemos
a_{n}=\ln\!\bigl((n+666)/n\bigr) =\ln\!\bigl(1+\tfrac{666}{n}\bigr).
Como \tfrac{666}{n}\to0 quando n\to\infty, usamos a continuidade de \ln para obter
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\ln\bigl(1+0\bigr) =\ln(1) =0,
não 1. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação 02: “Se a sequência dos termos a_{n} de uma série \sum a_{n} não é monótona, então a série não pode ser convergente.”
Não existe exigência de monotonicidade dos termos para que uma série converja. Basta apresentar qualquer exemplo de série convergente cujos termos não formam sequência monótona. Por exemplo, a série
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n^2}
converge por comparação absoluta, mas a_{n}=\sin(n)/n^2 não é monotônica em n. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Q. F
லூ. F
c. F
02. F

Exercícios relacionados