Problema 20-16
Enunciado: Obtenha uma equação vetorial da reta
r contida no plano
\pi: y=z , sabendo que a medida angular entre
r e
s: X=(1,1,2)+\lambda(1,-1,0) é
60^{\circ} e que
r dista 1 do ponto
P=(1,0,0) .
Vetor Diretor de
\mathbf{r} : Seja
\vec{v}_{r}=(a, b, c) o vetor diretor de
r . Como
r está contida em
\pi: y-z=0 , seu vetor diretor é perpendicular ao normal do plano,
\vec{n}_{\pi}=(0,1,-1) .
\vec{v}_{r} \cdot \vec{n}_{\pi}=0 \Longrightarrow b-c=0 \Longrightarrow b=c
Logo,
\vec{v}_{r}=(a, b, b) .
2. Condição do Ângulo: O ângulo entre
r e
s é
60^{\circ} , então
\cos \left(60^{\circ}\right)=1 / 2 . O vetor diretor de
s é
\vec{v}_{s}=(1,-1,0) .
\frac{1}{2}=\frac{\left|\vec{v}_{r} \cdot \vec{v}_{s}\right|}{\left\|\vec{v}_{r}\right\| \cdot| | \vec{v}_{s}| |}=\frac{|a-b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+b^{2}} \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}}=\frac{|a-b|}{\sqrt{a^{2}+2 b^{2}} \sqrt{2}}
Elevando ao quadrado:
\frac{1}{4}=\frac{(a-b)^{2}}{2\left(a^{2}+2 b^{2}\right)} \Longrightarrow a^{2}+2 b^{2}=2(a-b)^{2}=2 a^{2}-4 a b+2 b^{2} \Longrightarrow
a^{2}-4 a b=0 \Longrightarrow a(a-4 b)=0 . Temos duas possibilidades para o vetor diretor:
Caso 1:
a=0 . \vec{v}_{r} é paralelo a (
0, b, b ), ou seja, (
\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1} ).
Caso 2:
a=4 b, \vec{v}_{r} é paralelo a (
4 b, b, b ), ou seja, (
\mathbf{4}, \mathbf{1}, \mathbf{1} ).
Condição de Distância: A reta
r tem um ponto
P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) que está em
\pi , então
y_{0}=z_{0} . Logo
P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, y_{0}\right) . A distância de
P(1,0,0) a
r é 1 . Usaremos o Caso 1 para encontrar uma solução.
Usando
\vec{v}_{r}=(0,1,1) :
\begin{gathered} d(P, r)^{2}=\frac{\left\|\overrightarrow{P_{0} P} \times \vec{v}_{r}\right\|^{2}}{\left\|\vec{v}_{r}\right\|^{2}}=1 \\\ \overrightarrow{P_{0} P}=P-P_{0}=\left(1-x_{0},-y_{0},-y_{0}\right) \cdot \overrightarrow{P_{0} P} \times \vec{v}_{r}=\left(1-x_{0},-y_{0},-y_{0}\right) \times(0,1,1)= \\\ \left(0, x_{0}-1,1-x_{0}\right) .\left\|\overrightarrow{P_{0} P} \times \vec{v}_{r}\right\|^{2}=0^{2}+\left(x_{0}-1\right)^{2}+\left(1-x_{0}\right)^{2}=2\left(x_{0}-1\right)^{2} .\left\|\vec{v}_{r}\right\|^{2}= \\\\ 0^{2}+1^{2}+1^{2}=2 . \\\ \frac{2\left(x_{0}-1\right)^{2}}{2}=1 \Longrightarrow\left(x_{0}-1\right)^{2}=1 \Longrightarrow x_{0}-1= \pm 1 \Longrightarrow x_{0}=2 \text { ou } x_{0}=0 \end{gathered}
A condição de distância fixa a coordenada
x_{0} da reta, mas não
y_{0} . Podemos escolher qualquer valor para
y_{0} . Vamos tomar
y_{0}=0 e
x_{0}=2 . O ponto na reta é
P_{0}=
(2,0,0) e o vetor diretor é
\vec{v}_{r}=(0,1,1) .
Solução: Uma possível equação vetorial para a reta
r é:
\mathbf{X}=(\mathbf{2}, \mathbf{0}, \mathbf{0})+\lambda(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1}), \quad \lambda \in \mathbb{R}