Enunciado: Determine o ponto do plano π: x-3 y+2 z=0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
Pela desigualdade triangular, para qualquer ponto X,|d(X, P)-d(X, Q)| \leq d(P, Q). A igualdade (o valor máximo) ocorre quando X está na reta que passa por P e Q . Portanto, o ponto procurado é a interseção da reta PQ com o plano π.
(b) P=(3,0,2), Q=(-1,0,-1)
  1. Reta PQ: Vetor diretor \vec{v}=Q-P=(-4,0,-3). Reta X=(3-4 t, 0,2-3 t).
  2. Interseção com π :
\begin{gathered} (3-4 t)-3(0)+2(2-3 t)=0 \\\\ 3-4 t+4-6 t=0 \Longrightarrow-10 t+7=0 \Longrightarrow t=7 / 10 \end{gathered}
  1. Ponto \mathbf{X} : $X=(3-4(7 / 10), 0,2-3(7 / 10))=(3-28 / 10,0,2-21 / 10)=(2 / 10,0,-1 / 10).

Passo 1

O enunciado pede o ponto X do plano
\pi:\;x - 3y + 2z = 0
que maximiza o valor de \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|, onde
P=(3,0,2),\quad Q=(-1,0,-1).
Pela desigualdade triangular em \mathbb{R}^3 temos
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q),
e a igualdade ocorre exatamente quando X, P e Q são colineares. Logo, o ponto buscado é a interseção da reta PQ com o plano \pi.

Passo 2

Parametrizamos a reta que passa por P e Q. O vetor direção é
\vec v = Q - P = (-1,0,-1) - (3,0,2) = (-4,0,-3).
Logo, um ponto genérico dessa reta é
X(t) = P + t\,\vec v = (3,0,2) + t\,(-4,0,-3) = \bigl(3-4t,\;0,\;2-3t\bigr).

Passo 3

Impondo que X(t) satisfaça a equação do plano \pi, substituímos em
x - 3y + 2z = 0:
(3-4t) - 3\cdot 0 + 2\,(2-3t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3 - 4t + 4 - 6t = 0 \quad\Longrightarrow\quad -10t + 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{7}{10}.

Passo 4

Substituindo t = \tfrac{7}{10} em X(t), obtemos
X\bigl(\tfrac{7}{10}\bigr) = \Bigl(3 - 4\cdot\tfrac{7}{10},\;0,\;2 - 3\cdot\tfrac{7}{10}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{30 - 28}{10},\;0,\;\tfrac{20 - 21}{10}\Bigr) = \bigl(\tfrac{1}{5},\,0,\,-\tfrac{1}{10}\bigr).

Resposta

\displaystyle X=\bigl(\tfrac{1}{5},\,0,\,-\tfrac{1}{10}\bigr).

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