\int_{-\infty}^{0}(x-1) e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
\int_{-\infty}^{0}(x-1)e^{2x}\,dx.
O conteúdo é integração de funções com expoencial e um limite impróprio em -\infty. Vamos primeiro determinar uma primitiva de (x-1)e^{2x} e depois avaliar o limite.

Passo 2

Para achar a primitiva de (x-1)e^{2x}, separamos
\int (x-1)e^{2x}\,dx =\int x e^{2x}\,dx \;-\;\int e^{2x}\,dx.
  1. Em \int x e^{2x}\,dx, use integração por partes com u=x e dv=e^{2x}dx. Então du=dx e v=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
    Logo \int x e^{2x}\,dx =x\cdot\frac{e^{2x}}{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}\,dx =\frac{x e^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}.
  2. Em \int e^{2x}\,dx, temos \int e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{2}.
Subtraindo os resultados, a primitiva geral é
\int (x-1)e^{2x}\,dx =\frac{x e^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}-\frac{e^{2x}}{2} =\frac{x e^{2x}}{2}-\frac{3e^{2x}}{4}+C.

Passo 3

Chamando
F(x)=\frac{x e^{2x}}{2}-\frac{3e^{2x}}{4},
temos
\int_{-\infty}^{0}(x-1)e^{2x}\,dx =\lim_{a\to-\infty}\bigl[F(0)-F(a)\bigr].
Calculamos
F(0)=\frac{0\cdot e^{0}}{2}-\frac{3e^{0}}{4}=-\frac{3}{4},
e como e^{2x} decai mais rápido que x cresce,
\lim_{a\to-\infty}F(a)=0.
Logo o integral vale
-\frac{3}{4}-0=-\frac{3}{4}.

Resposta

-\frac{3}{4}.

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