\int_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+3)^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-4}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+3)^{4}}}\,dx.
Observamos que
\frac{1}{\sqrt[3]{(x+3)^4}} = (x+3)^{-\tfrac{4}{3}},
e que o ponto x=-3 está no interior do intervalo [-4,0]. Em x=-3 o integrando fica infinito, então temos um integral impróprio. Precisamos verificar se ele converge ou diverge.

Passo 2

Para lidar com a descontinuidade em x=-3, dividimos o integral em duas partes impróprias:
\int_{-4}^{0}(x+3)^{-\tfrac{4}{3}}\,dx =\int_{-4}^{-3}(x+3)^{-\tfrac{4}{3}}\,dx +\int_{-3}^{0}(x+3)^{-\tfrac{4}{3}}\,dx.
Cada parcela deve ser entendida como limite: por exemplo,
\int_{-4}^{-3}(x+3)^{-\tfrac{4}{3}}\,dx =\lim_{a\to(-3)^-}\int_{-4}^{a}(x+3)^{-\tfrac{4}{3}}\,dx.

Passo 3

Perto de x=-3 fazemos a troca de variável t = x+3. Quando x\to -3, t\to 0. Então o comportamento de cada integral é equivalente a
\int_{0}^{\delta} t^{-\tfrac{4}{3}}\,dt
para algum \delta>0. Sabemos do teste de p-integral que
\int_{0}^{\delta} t^{-p}\,dt
converge se, e somente se, p<1. Aqui p=\tfrac{4}{3}>1, logo essa integral diverge.

Passo 4

Como cada uma das parcelas diverge (tanto vindo da esquerda de -3 quanto da direita), o integral original não converge.

Resposta

O integral diverge (não é finito).

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