\vec{H}=(\sqrt{x}+y, 2 x+\sqrt{y}), Calcule \int_{\varepsilon} \vec{H} \cdot d \vec{l}
sendo: \varepsilon \rightarrow \vec{\varepsilon}(t)=(\pi-t, \operatorname{sen}(\pi-t)) \int_{\varepsilon}
0 \leqslant t \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\int_{\varepsilon}\vec H\cdot d\vec l
onde \vec H=(\sqrt{x}+y,\;2x+\sqrt{y}) e a curva \varepsilon é dada por
\vec\varepsilon(t)=(\pi-t,\;\operatorname{sen}(\pi-t)),\quad 0\le t\le\pi.
Vamos usar o método de parametrização: escrever \vec H em função de t, calcular d\vec l=\vec\varepsilon\,'(t)\,dt e integrar de 0 a \pi.

Passo 2

Primeiro note que
y(t)=\operatorname{sen}(\pi-t)=\operatorname{sen} t.
Logo a parametrização fica
x(t)=\pi-t,\quad y(t)=\operatorname{sen} t,
e
\vec\varepsilon\,'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)=(-1,\cos t).
Em seguida,
\vec H\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\bigl(\sqrt{\pi-t}+\operatorname{sen} t,\;2(\pi-t)+\sqrt{\operatorname{sen} t}\bigr).
O produto escalar é
\vec H\bigl(\vec\varepsilon(t)\bigr)\cdot\vec\varepsilon\,'(t) =-(\sqrt{\pi-t}+\operatorname{sen} t)+\bigl(2(\pi-t)+\sqrt{\operatorname{sen} t}\bigr)\cos t.

Passo 3

Escrevemos o integral como soma de quatro termos:
\int_{0}^{\pi}\!\Bigl[-\sqrt{\pi-t}-\operatorname{sen} t+2(\pi-t)\cos t+\sqrt{\operatorname{sen} t}\,\cos t\Bigr]dt.
Chamemos esses termos de A+B+C+D.

Passo 4

Cálculo de
A=-\int_{0}^{\pi}\sqrt{\pi-t}\,dt.
Fazendo u=\pi-t, du=-dt, vai de u=\pi a u=0, obtém-se
\int_{0}^{\pi}\sqrt{\pi-t}\,dt =\int_{\pi}^{0}\sqrt{u}(-du) =\int_{0}^{\pi}\sqrt{u}\,du =\frac{2}{3}\,\pi^{3/2}.
Portanto A=-\tfrac{2}{3}\pi^{3/2}.

Passo 5

Cálculo de
B=-\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,dt =-\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} =-\bigl(-\cos\pi+\cos0\bigr) =-2.

Passo 6

Cálculo de
C=2\int_{0}^{\pi}(\pi-t)\cos t\,dt.
Separando,
2\Bigl[\pi\!\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt -\int_{0}^{\pi}t\cos t\,dt\Bigr] =2\bigl[0-(-2)\bigr]=4.

Passo 7

Cálculo de
D=\int_{0}^{\pi}\sqrt{\operatorname{sen} t}\,\cos t\,dt.
Fazendo u=\operatorname{sen} t, du=\cos t\,dt, os limites vão de 0 a 0, logo
D=\int_{0}^{0}\sqrt{u}\,du=0.

Passo 8

Somando todos os termos:
\int_{\varepsilon}\vec H\cdot d\vec l =A+B+C+D =-\frac{2}{3}\pi^{3/2}-2+4+0 =2-\frac{2}{3}\,\pi^{3/2}.

Resposta

\boxed{\,2-\frac{2}{3}\,\pi^{3/2}\,}.

Exercícios relacionados